2025　大阪公立大学　前期MathJax

【１】　数列$\{I_k\}$を

$I_k={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|a\cos x-k\sin 2x|\mathit{dx}$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．ただし$a$は$0<a<2$を満たす実数である．次の問いに答えよ．

問１　$I_k$を，積分を用いない$a$と$k$のみの式で表せ．

問２　$2$以上の整数$n$に対し，$3$つの数

$\log n\text{，}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{\displaystyle \frac{1}{k}}\text{，}$${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{1}{k}}$

の大小を比較せよ．ただし$\log$は自然対数である．

問３　$b$を実数とする．

$J_n={\displaystyle \frac{1}{\log n}}({\displaystyle \sum _{k=1}^n}{I}_k+b{n}^2)$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

によって定まる数列$\{J_n\}$が収束するとき，$a$と$b$を求めよ．また，そのときの極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{J}_n$を求めよ．ただし$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{n}{\log n}}=\infty$が成り立つことは用いてよい．

【２】　座標空間において$4$点$\mathrm{A}(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(1,0,2)\text{，}$$\mathrm{C}(1,4,2)\text{，}$$\mathrm{D}(-1,1,0)$を考える．次の問いに答えよ．

問１　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を含む平面において，点$\mathrm{B}$を通り直線$\mathrm{AC}$に垂直な直線を$l\text{，}$点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線を$m$として，$l$と$m$の交点を$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

問２　$0<t<1$を満たす実数$t$に対し，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{CD}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{R}\text{，}$線分$\mathrm{BD}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．$4$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$は同一平面上にあることを示せ．

問３　$4$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$を含む平面を$\alpha$とする．平面$\alpha$による四面体$\mathrm{ABCD}$の切り口の面積を$t$の式で表せ．

問４　平面$\alpha$に平行な平面のうちで点$\mathrm{E}$を通るものを$\beta$とすると，四面体$\mathrm{ABCD}$は平面$\beta$によって$2$つの部分に分けられる．それらのうちで辺$\mathrm{BC}$を含む方の図形の体積を求めよ．

【３】　自然数$N$の正の約数の個数を$n$とする．$N$の正の約数を，小さい順に$d_1\text{，}$$d_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$d_{n-1}\text{，}$$d_n$と表す．したがって

$1=d_1<d_2<\cdots <d_{n-1}<d_n=N$

である．いま，$n\geqq 5$かつ

$(d_3-d_2)(d_4-d_2)(d_5+d_2)={(2d_2)}^3$

が満たされているとする．次の問いに答えよ．

問１　$2<a<b<c$かつ$(a-2)(b-2)(c+2)=2^6$を満たす整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の組をすべて求めよ．

問２　$d_2\ne 2$であることを示せ．

問３　$d_2=3$であることを示せ．

問４　$d_3\text{，}$$d_4\text{，}$$d_5$を求めよ．

【４】　$xy$平面において$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{P}(1,0)\text{，}$$\mathrm{Q}(\cos \alpha ,\sin \alpha )$を考える．ただし$\alpha$は$0<\alpha <\pi$を満たす実数である．また，$f(\theta )=2\cos \theta -1$とおく．次の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{O}$と直線$\mathrm{PQ}$の距離を$\alpha$の式で表せ．

問２　次の等式を示せ．

$f(\theta )\cos (\theta -{\displaystyle \frac{\alpha }{2}})=\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}-2\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\sin {\displaystyle \frac{3\theta -\alpha }{2}}$

問３　媒介変数$t$を用いて

$x=f(t)\cos t\text{，}$$y=f(t)\sin t$$(0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

と表される曲線を$C$とする．曲線$C$と直線$\mathrm{PQ}$は$1$点のみを共有することを示せ．また，その共有点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{\angle POR}$を$\alpha$の式で表せ．

【１】　$n$を自然数とする．$100$枚のカードが入った袋があり，その中の各カードには$0$から$99$までの整数のうちの$1$つが書かれている．これらのカードに書かれた整数には，重複はないものとする．この袋の中身をよくかき混ぜた後，その中から$1$枚のカードを取り出し，取り出したカードをその袋に戻すという試行を$n$回繰り返す．$k$回目に取り出したカードに書かれている数を$a_k$として，それらの積$a_1\times a_2\times \cdots \times a_n$を$M_n$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$M_n=0$となる確率を$n$の式で表せ．

問２　$M_n\geqq 3$となる確率を$n$の式で表せ．

問３　$M_n$が$4$で割り切れない偶数となる確率を$n$の式で表せ．

【２】　$a$を正の実数とする．$xy$平面において，条件

$2^{-\frac{1}{2}y}{a}^{2x}=2^{-\frac{1}{2}(x^2+1)}$

を満たす点$(x,y)$全体で作られる図形を$C$とする．次の問いに答えよ．

問１　$C$は放物線であることを示せ．

問２　$0<\theta <\pi$とする．$a=\sin \theta$であるときの放物線$C$の頂点の座標を$(s,t)$とする．$|s+t|\leqq 1$が成り立つような$\theta$の範囲を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は整数であり，条件

$a<b<c<d$かつ$(b-a)(c-a)(d+a)={(2a)}^3$

を満たすとする．次の問いに答えよ．

問１　$a=2$のとき，上記の条件を満たす$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の組をすべて求めよ．

問２　$a=3$かつ$b\text{，}$$c\text{，}$$d$が奇数のとき，上記の条件を満たす$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の組をすべて求めよ．

【４】　$a\text{，}$$b\text{，}$$t$は実数であり，$t>1$とする．$xy$平面上の$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=x^2$

$C_2\text{：}y=a{(x-1)}^2+b(x-1)+2$

を考える．点$\mathrm{P}(t,t^2)$は$C_1$と$C_2$の共有点であり，点$\mathrm{P}$において$C_1$の接線の傾きと$C_2$の接線の傾きが等しいとする．次の問いに答えよ．

問１　$a$と$b$を$t$の式でそれぞれ表せ．

問２　$a>1$であることを示せ．

問３　放物線$C_2$の頂点の$x$座標を$t$の式で表せ．

問４　問３で求めた式を$f(t)$とする．$t>1$の範囲で${\displaystyle \frac{1}{f(t)}}$を最小にする$t$の値を求めよ．

問５　$t$の値は問４で求めた通りとする．$C_2$と直線$y=2$によって囲まれる図形の面積を求めよ．