2025　京都府立医科大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　自然数$m$に対して，$2m^2+19$は$5$の倍数でないことを証明せよ．

(2)　自然数$m\text{，}$$n\text{，}$$k$は等式

(E)　$14m^{2}n$$+10m^2$$+133n$$=70k+45$

を満たすとする．このとき，$(2m^2+19)(7n+5)$は$70$の倍数であることを証明せよ．

(3)　$k\leqq 50$のとき，(2)の等式(E)を満たす自然数の組$(m,n,k)$をすべて求めよ．

【２】　空間内に同一平面上にない$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$で$\left|\overrightarrow{\mathrm{CA}}\right|=\sqrt{5}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right|=2\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}$および$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=0$を満たすものを考える．$x=\left|\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right|$とおく．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{DA}}\right|$と$\left|\overrightarrow{\mathrm{DB}}\right|$を求めよ．

(2)　$x$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵ACD}$と$\mathrm{▵BCD}$の面積の和を$S$とする．$S$を最大にする$x$の値を求めよ．

(4)　$x$は(3)で求めた値とし，線分$\mathrm{AB}$は$3$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を通る平面に垂直であるとする．このとき四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

【３】　自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$$\text{（}x>0\text{）}$を次のように定める．

$f_1(x)=\log (1+x)\text{，}$$f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$x>0$のとき，不等式

$x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}<f_1(x)<x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　自然数$n$に対して

$\underset{x\to \infty }{\lim }(x^2{f}_n\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)-x)=-{\displaystyle \frac{n}{2}}$

が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

【４】　$f(x)={\displaystyle \frac{x-1}{x^2}}$とし，$xy$平面上の曲線$C\text{：}y=f(x)$$\text{（}x>0\text{）}$および$C$上の点$\mathrm{P}(t,f(t))$における$C$の接線を考える．

(1)　$x>0$において関数$f(x)$の極値とグラフの変曲点の座標を求めよ．

(2)　$l$と$C$の$\mathrm{P}$以外の共有点が存在するための$t$の条件を求め，その共有点の座標を$t$を用いて表せ．

(3)　$l$と$C$で囲まれる部分の面積を$S(t)$とおく．ただし，$\mathrm{P}$以外に$l$と$C$の共有点が存在しないときは$S(t)=0$とする．このとき

$\underset{t\to \infty }{\lim }(S(t)-\log t)$

を求めよ．