2025　京都府立大学　前期MathJax

【１】　直線$y=x-1$を$l\text{，}$放物線$y=x^2-2x$を$C$とする．$l$と$C$の異なる$2$つの共有点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標の値を$p\text{，}$$\mathrm{Q}$の$x$座標の値を$q$とし，$p>q$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$p$と$q$の値を求めよ．

(2)　$C$上の点$\mathrm{R}(a,b)$が$q<a<p$のとき，$\mathrm{▵PQR}$の面積が最大になるような$\mathrm{R}$の座標を求めよ．また，そのときの$\mathrm{▵PQR}$の面積を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$

$a_1=6\text{，}$$a_2=18\text{，}$$a_3=46\text{，}$$a_4=94\text{，}$$a_5=166\text{，}$$a_6=266\text{，}$$a_7=398\text{，}\cdots$

がある．数列$\{a_n\}$の階差数列を数列$\{b_n\}$とする．数列$\{b_n\}$の階差数列が等差数列のとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．また，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(2)　数列$\{p_n\}$を

$p_n=n\cdot n!$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．数列$\{p_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　次のデータは，果実$8$個の中の種子の個数を調べた結果である．

$5\text{，}$$10\text{，}$$7\text{，}$$5\text{，}$$8\text{，}$$6\text{，}$$a\text{，}$$b$（単位は個）

このデータの平均値が$7$個で分散が$4$のとき，$a$と$b$の値を求めよ．ただし，$a<b$とする．

【３】　以下の問いに答えよ．

(2)　種子の入った袋$\mathrm{A}$がある．袋$\mathrm{A}$の中の種子は，$60\mathrm{\%}$が産地$\mathrm{X}$で，$30\mathrm{\%}$が産地$Y$で，$10\mathrm{\%}$が産地$\mathrm{Z}$で生産されたものである．産地$\mathrm{X}\text{，}$産地$\mathrm{Y}\text{，}$産地$\mathrm{Z}$の種子には，それぞれ，発芽しない種子が$2\mathrm{\%}\text{，}$$1\mathrm{\%}\text{，}$$5\mathrm{\%}$の割合で含まれている．袋$\mathrm{A}$から取り出した$1$個の種子が発芽しない確率を求めよ．また，取り出した$1$個の種子が発芽しないとき，その産地が$\mathrm{Y}$である条件付き確率を求めよ．

【４】　$m\text{，}$$n$を自然数とする．${\displaystyle \frac{m^3-mn+1}{m^2+mn+2}}$が整数のとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$m$は奇数であることを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{m^2-mn-m-3n-2}{2(m^2+mn+2)}}$は整数であることを示せ．

(3)　$m$と$n$の組$(m,n)$をすべて求めよ．

【５】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|{\sin }^{2}t-{\sin }^{2}x|\mathit{dt}$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$がある．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の最大値および最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$つの直線$x=0\text{，}$$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた部分の面積を求めよ．