2025　滋賀県立大学　後期MathJax

【１】(1)(ア)　不定積分${\displaystyle \int }x{e}^x\mathit{dx}$を求めよ．

(イ)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}x|e^x-2|\mathit{dx}$を求めよ．

【１】(2)　$p>{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．曲線$y=\sqrt{2x-1}$上の点$(p,\sqrt{2p-1})$における接線を$l\text{，}$法線を$m$とする．$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}\text{，}$$m$と$y$軸との交点を$\mathrm{R}\text{，}$線分$\mathrm{QR}$の長さを$L$とする．

(ア)　$L$を$p$を用いて表せ．

(イ)　$L$の最小値とそのときの$p$の値を求めよ．

【２】　$n$を自然数とする．正の$3$の倍数の逆数を大きいものから順に並べた列を，次のように群に分ける．ただし，第$n$群には$2^{n-1}$個の数が入るものとする．

$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ \text{第}1\text{群}\end{array}|$$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{1}{9}}\\ \text{第}2\text{群}\end{array}|$$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{12}},{\displaystyle \frac{1}{15}},{\displaystyle \frac{1}{18}},{\displaystyle \frac{1}{21}}\\ \text{第}3\text{群}\end{array}$$\left|\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{24}},{\displaystyle \frac{1}{27}},{\displaystyle \frac{1}{30}},{\displaystyle \frac{1}{33}},{\displaystyle \frac{1}{36}},{\displaystyle \frac{1}{39}},{\displaystyle \frac{1}{42}},{\displaystyle \frac{1}{45}}\\ \text{第}4\text{群}\end{array}\right|$$\cdots$

(1)　初めて現れる${\displaystyle \frac{1}{1000}}$以下の数は，第何群に含まれるか答えよ．

(2)　第$n$群の最初の数と最後の数をそれぞれ$n$を用いて表せ．

(3)　$k$番目の数${\displaystyle \frac{1}{3k}}$が第$n$群に含まれるとする．$2^{n-1}\leqq k<2^n$が成り立つことを示せ．

(4)　${\displaystyle \frac{1}{3^{101}}}$は第何群に含まれるか答えよ．必要ならば$1.584$$<{\log }_{2}3$$<1.585$を用いてよい．

(5)　第$n$群に含まれる数の和を$T_n$とする．$T_n>{\displaystyle \frac{1}{6}}$が成り立つことを示せ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に，点$\mathrm{A}(-1,0,0)$と点$\mathrm{B}(-2,2,1)$がある．

(1)直線$\mathrm{AB}$に，$\mathrm{O}$から垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{AB}$上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は，$\mathrm{OP}=\mathrm{OQ}$および$\cos \mathrm{\angle POQ}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$を満たすとする．$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{P}$の$x$座標は$\mathrm{Q}$の$x$座標よりも大きいとする．