2025　滋賀県立大学　前期MathJax

【１】(1)　直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\mathrm{CA}=4$とする．$\mathrm{\angle B}$の二等分線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．

(ア)　線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

(イ)　線分$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．

(ウ)　$\sin \mathrm{\angle ADB}$の値を求めよ．

(エ)　$\mathrm{▵BCD}$の外接円の半径$R$を求めよ．

【１】(2)　$x\text{，}$$y\text{，}$$a$は$2^x=9^y=a\text{，}$${\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}=2$を満たしている．$a$の値を求めよ．

【１】(3)　$n$を自然数とする．関数$f(x)=x{e}^{2x}$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$を考える．$f^{(n)}(x)=(2^{n}x+2^{n-1}n)e^{2x}$であることを数学的帰納法で証明せよ．

【２】　$i$を虚数単位とする．$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{i+2a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で複素数の列$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$\cdots$を定める．

(1)　$z=a_2+a_3$とおく．$\left|z\right|$および$z$の偏角$\theta$を求めよ．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおく．

(ア)　$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(イ)　$c_n=b_n-1-i$とおく．$c_{n+1}$を$c_n$を用いて表せ．

(3)　$a_n$を求めよ．

(4)　複素平面上の点${\mathrm{A}}_n(a_n)$を考える．$4$点${\mathrm{A}}_n\text{，}$${\mathrm{A}}_{n+1}\text{，}$$A_{n+2}\text{，}$${\mathrm{A}}_{n+3}$を頂点とする四角形の面積$S_n$を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}\sqrt{4-t^2}\mathit{dt}$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$を考える．

(1)　$f(\sqrt{2})$の値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$(\sqrt{2},f(\sqrt{2}))$における接線の方程式を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{2}}}f(x)\mathit{dx}$の値$I$を求めよ．