2025　三重県立看護大学　推薦MathJax

【１】　次の(1)から(5)の問いに答えなさい．答えは解答欄に解答のみを記入しなさい．

(1)　次の方程式，不等式を解け．

$\text{①}|\sqrt{2}x-3|=4$$\text{②}|\sqrt{2}x-3|>4$

【１】　次の(1)から(5)の問いに答えなさい．答えは解答欄に解答のみを記入しなさい．

(2)　命題を証明する方法には，以下の(ⅰ)から(ⅳ)の流れで行うものがある．

(ⅰ)　命題が成り立たないと仮定する．

(ⅱ)　(ⅰ)の仮定のもとで矛盾を導く．

(ⅲ)　(ⅱ)の矛盾が生じたのは，(ⅰ)の仮定が間違っているからである．

(ⅳ)　したがって，もとの命題が成り立つ．

$\text{①}$　この証明法を何というか．

$\text{②}$　命題『$\sqrt{2}$は無理数である』を$\text{①}$の証明法で示したい．(ⅰ)での仮定を，無理数という用語を用いずに表せ．

【１】　次の(1)から(5)の問いに答えなさい．答えは解答欄に解答のみを記入しなさい．

(3)　次の条件をみたす定数$a$の値の範囲を求めよ．

$\text{①}$　すべての実数$x$に対して，不等式$x^2+6x+a>0$が成り立つ．

$\text{②}$　ある実数$x$に対して，不等式$x^2+6x+a\leqq 0$が成り立つ．

【１】　次の(1)から(5)の問いに答えなさい．答えは解答欄に解答のみを記入しなさい．

(4)　油がいっぱい入った$8\mathrm{L}$のつぼと，何も入っていない$5\mathrm{L}$と$3\mathrm{L}$のつぼがある．これらを用いて，油を$4\mathrm{L}$ずつに分けたい．例えば，$8\mathrm{L}$つぼから$5\mathrm{L}$つぼに$x$回うつし，$8\mathrm{L}$つぼに$3\mathrm{L}$つぼから$y$回うつすと（あとは$5\mathrm{L}$つぼと$3\mathrm{L}$つぼの間でうつす），$8\mathrm{L}$つぼと$5\mathrm{L}$つぼに，$4\mathrm{L}$ずつの油が分けられる．その手順の回ごとの各つぼに入っている油の量を，以下の表に示した．

表の$1$回めでは，$8\mathrm{L}$つぼから$5\mathrm{L}$つぼにうつし，$2$回めでは，$5\mathrm{L}$つぼから$3\mathrm{L}$つぼにうつし$\text{（}5\mathrm{L}$つぼには$2\mathrm{L}$残る），$3$回めでは，$3\mathrm{L}$つぼから$8\mathrm{L}$つぼにうつした$\text{（}8\mathrm{L}$つぼには計$6\mathrm{L}$入る）．

$\text{①}$　$8-5x+3y=4$となる，正の整数$x\text{，}$$y$の組を$1$つ求めよ．

$\text{②}$　$4$回と$5$回の手順について，空欄ア～カの油の量を求めよ．

【１】　次の(1)から(5)の問いに答えなさい．答えは解答欄に解答のみを記入しなさい．

(5)　2 人の人が，司会者と挑戦者に分かれて次のゲームを行う．挑戦者の前に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$つの箱がある．$1$つの箱には賞品が入っていて，残りの$2$つの箱には何も入っていない．挑戦者が賞品の入っている箱を当てるとその賞品がもらえる．挑戦者が箱を選んだ後（例えば，$\mathrm{A}$とする），司会者が残りの$2$つの箱のうち，空の箱を$1$つ開けて見せる．（司会者は，賞品の入った箱を知っており，賞品の入った箱と挑戦者が選んだ箱は開けないものとする．）ここで，挑戦者は，$\mathrm{A}$の箱から，まだ開けられていない箱に変更してもよい，と司会者にいわれる．

$\text{①}$　選んだ箱をそのままにして，当たる確率を求めよ．

$\text{②}$　選んだ箱を変更して，当たる確率を求めよ．

【２】　次の(1)，(2)の問いに答えなさい．答えは解答欄に解答のみを記入しなさい．

(1)　$3$点$(1,2)\text{，}$$(2,1)\text{，}$$(3,3)$と，直線$l\text{：}y=ax+b$がある．$y$のデータ$2\text{，}$$1\text{，}$$3$を観測値とし，$x$のデータ$1\text{，}$$2\text{，}$$3$における直線$l$の$y$座標$a+b\text{，}$$2a+b\text{，}$$3a+b$を予測値とすると，観測値から予測値を引いた，$2-(a+b)\text{，}$$1-(2a+b)\text{，}$$3-(3a+b)$を残差という．この残差の$2$乗の和$S$が最小になるときの直線を，回帰直線といい，この直線は，必ず点$(\bar{x},\bar{y})$を通ることが知られている．ここで，$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}$はそれぞれ$x\text{，}$$y$の平均値である．また$3$点の散布図は，上になる．

$\text{①}$　平均値$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}$を求め，切片$b$を傾き$a$の式で表せ．

$\text{②}$　$S$を$a$の$2$次関数として表せ．

$\text{③}$　$S$が最小値をとるときの$a$の値を求めよ．この値が回帰直線の傾きで，これは$x$の分散$s_{x^2}$と$x\text{，}$$y$の共分散$s_{xy}$を使って，${\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_{x^2}}}$で求められることも知られている．

【２】　次の(1)，(2)の問いに答えなさい．答えは解答欄に解答のみを記入しなさい．

(2)　正$5$角形$\mathrm{ABCDE}$の$1$辺の長さを$1$とすると，対角線の長さは${\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$で，この値を黄金比という．また対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．

$\text{①}$　$4$角形$\mathrm{AFDE}$の辺$\mathrm{AF}$の長さと，$\mathrm{\angle FAE}$の大きさを求めよ．

$\text{②}$　線分$\mathrm{BF}$の長さを求めよ．

$\text{③}$　$\cos 36\mathrm{°}$の値を求めよ．