2025　名古屋市立大学　中期薬学部MathJax

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}=s\text{，}$$\mathrm{OB}=\mathrm{CA}=t\text{，}$$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=u$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，ベクトル$\overrightarrow{x}\text{，}$$\overrightarrow{y}\text{，}$$\overrightarrow{z}$を$\overrightarrow{x}={\displaystyle \frac{1}{2}}(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\text{，}$$\overrightarrow{y}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\text{，}$$\overrightarrow{z}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\text{，}$$\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}\text{，}$$\overrightarrow{z}+\overrightarrow{x}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}\text{，}$$\overrightarrow{y}\cdot \overrightarrow{z}\text{，}$$\overrightarrow{z}\cdot \overrightarrow{x}$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$から等距離にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(4)　(3)の条件のもとで，線分$\mathrm{OP}$の長さを$s\text{，}$$t\text{，}$$u$を用いて表せ．

(編注）2014年滋賀医科大学　前期医（医学科）学部【２】を改変して活用

【２】　数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は，自然数$n$に対して，以下の条件を満たすものとする．

$a_1=b_1=2\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}{a}_n-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}{b}_n\text{，}$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}{a}_n+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}{b}_n$

$a_n$を実部とし，$b_n$を虚部とする複素数を$z_n$で表すとき，次の問いに答えよ．

(1)　$z_{n+1}=w{z}_n$を満たす複素数$w$と，その絶対値$\left|w\right|$を求めよ．

(2)　複素数平面上で，点$z_{n+1}$は点$z_n$をどのように移動した点であるかを答えよ．

(3)　数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　自然数$k$に対して，複素数平面上の原点$\mathrm{O}\text{，}$点$z_k\text{，}$点$z_{k+1}$の$3$点を頂点とする三角形の面積を$S_k$とし，$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k$とおくとき，$T_n$を求めよ．

(編注）2016年金沢大学　前期理工,医薬保健学域【１】を改変して活用

【３】　曲線$C\text{：}y={\sin }^{2}x$について，$C$上の点$\mathrm{A}(t,{\sin }^{2}t)$における$C$の接線を$l$とし，接線$l$と直線$x=a$との交点を$\mathrm{B}(a,f(t))$とする．ただし，$a$は$0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たす定数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(t)$を求めよ．

(2)　$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，$f(t)$の増減を調べ，その最大値と最小値を求めよ．

(3)　接線$l$の$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$をみたす部分からなる線分を$L$とする．$t$が$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲で動くとき，$L$が通過する領域を座標平面上に図示せよ．

(編注）2015年旭川医科大学　前期 医学部（医学科）【３】を改変して活用