2025　名古屋市立大学　後期MathJax

【１】　座標平面上の曲線$C_1\text{：}y=x^3$と曲線$C_2\text{：}y=x^2+ax-12$は点$\mathrm{P}$を通る．点$\mathrm{P}$における$2$つの曲線$C_1\text{，}$$C_2$の接線は一致している．その接線を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　定数$a$の値を求めよ．

(2)　接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　接線$l$と曲線$C_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

(編注）1998年静岡大学　前期教育,農学部【４】を活用

【２】　平行六面体$\mathrm{OADB‐CEGF}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{N}\text{，}$辺$\mathrm{DG}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{L}$とする．また，辺$\mathrm{OC}$を$k:1-k$$\text{（}0<k<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{K}$とする．$3$点$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}\text{，}$$\mathrm{K}$が定める平面を$\alpha$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{MN}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{ML}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{MK}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表せ．

(2)　平面$\alpha$上に点$\mathrm{L}$があるとき，$k$の値を求めよ．

(3)　平面$\alpha$と辺$\mathrm{GF}$が共有点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

(編注）2011年熊本大学　前期理,工,医(医学科,放射線技術,検査技術専攻),薬学部【２】を改変して活用

【３】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=\alpha \text{，}$$\{\begin{array}{ll}{a}_n\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{のとき，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{2}}& \cdots \text{①}\\ a_n<{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{のとき，}{a}_{n+1}=a_n+1& \cdots \text{②}\end{array}$

で定める．$k$と$l$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1\leqq a_k\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$であるとき，$a_{k+2}$を$a_k$で表せ．また，$a_{k+3}$を$a_k$で表せ．

(2)　$\alpha =1$のとき，$a_{3l-2}$を$l$の式で表せ．

【４】　$6$個のさいころを同時に投げて出た目が

・$2$の倍数であるさいころの個数を$X$

・$3$の倍数であるさいころの個数を$Y$

・$5$の倍数であるさいころの個数を$Z$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$X=2$となる確率を求めよ．

(2)　$X=2$かつ$Y=2$となる確率を求めよ．

(3)　$X=2$かつ$Y=2$のとき，$Z=2$となる条件付き確率を求めよ．

【１】　関数$f(x)=x(1-x)e^{-x}$が定める曲線$y=f(x)$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減，極値，曲線$C$の凹凸および変曲点を調べて，$C$の概形をかけ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$を証明なしに用いてよい．

(2)　原点$(0,0)$を通り，原点以外の点$\mathrm{P}$で$C$に接する直線を$l$とする．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　(2)の条件のもとで，$C$と$l$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(編注）2004年横浜国立大学　前期工学部【１】を改変して活用