2025　名古屋市立大学　前期MathJax

【１】　三角形$\mathrm{OAB}$において，点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$および$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$がなす角$\theta$に対して，$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=6\text{，}$$\cos \theta ＝{\displaystyle \frac{5}{6}}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$として，直線$\mathrm{OH}$と直線$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【２】　箱に$2m$個の玉が入っている．それぞれの玉には$0$から$2m-1$までの数字が$1$つずつ書かれている．ただし，$m$は$2$以上の整数とする．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\cdots$の順番で交互に箱から$1$個ずつ玉を取り出す．玉を$1$個取り出すたびに取り出した玉の数字をお互いで確認し，玉は箱に戻さないものとする．すべての玉を取り終えたとき，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$それぞれが持っている玉に書かれた数の総和が大きい方を勝ち，等しい場合は引き分けとする．次の問いに答えよ．

(1)　$m=2\text{，}$$\mathrm{3}\text{，}$$4$のとき，引き分けとなる確率をそれぞれ求めよ．

(2)　$m=3\text{，}$$4$のとき，$\mathrm{A}$が$2$個目の玉を取り終えた時点で$\mathrm{A}$の勝ちがすでに確定している確率をそれぞれ求めよ．

【３】　自然数$k$に対して，$x<y<k<x+y$を満たす自然数の組$(x,y)$の個数を$a_k$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a_7\text{，}$$a_8$を求めよ．

(2)　自然数$m$に対して，$a_{2m-1}\text{，}$$a_{2m}$を$m$の式で表せ．

(3)　自然数$n$に対して，${\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{a}_k$を$n$の式で表せ．

(編注）2007年横浜国立大学　前期経済学部【３】を活用

【４】　曲線$C\text{：}y=\sqrt{3}\log x$上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$a\text{，}$$b$$\text{（}0<a<3\text{，}$$a<b\text{）}$とする．ただし，対数は自然対数である．$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$における曲線$C$のそれぞれの接線が交わってできる鋭角の大きさが${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b$を$a$で表せ．

(2)　$a=1$のとき，$2$本の接線と曲線$C$とで囲まれる部分の面積を求めよ．

【４】　関数$f(x)=x^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}x$に対して，曲線$C\text{：}y=f(x)$上に点$\mathrm{P}(t,f(t))$$\text{（}t>0\text{）}$をとる．次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$の点$\mathrm{P}$における接線を$l_1\text{，}$点$\mathrm{P}$を通り$l_1$に垂直な直線を$l_2$とする．ただし，$l_1$は$x$軸に平行でないとする．原点と$l_1\text{，}$$l_2$との距離をそれぞれ$d_1\text{，}$$d_2$とおく．このとき，$d_1$および$d_2$を$t$を用いて表せ．

(2)　(1)で求めた$d_1\text{，}$$d_2$に対して，$d_1=d_2$となる$t$の値をすべて求めよ．

(3)　(2)で求めたそれぞれの$t$の値に対して，$C\text{，}$$l_2\text{，}$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

(編注）2014年埼玉大学　前期理(数学)，工学部共通【３】を改変して活用

【３B】　四角形の中に、各辺の中点を頂点とする四角形を作る．この操作を繰り返し，四角形内部に，より小さな四角形を作り続ける．ここで，この操作の$n$回目に作られる四角形の周の長さを$a_n$とする．また．$S={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{a}_k$とする．次の問いに答えよ．

(1)　最初に与えられる四角形が，一辺の長さ$\alpha$の正方形であるとする．このとき，$a_n$および$S$を求めよ．

(2)　最初に与えられる四角形が，長辺の長さ$\alpha \text{，}$短辺の長さ$\beta$の長方形であるとする．このとき，$a_n$および$S$を求めよ．

(編注）2021年富山大学　後期工，都市デザイン学部【３B】を活用

【４C】　曲線$C\text{：}y=\sqrt{3}\log x$上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$a\text{，}$$b$$\text{（}0<a<3\text{，}$$a<b\text{）}$とする．ただし，対数は自然対数である．$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$における曲線$C$のそれぞれの接線が交わってできる鋭角の大きさが${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b$を$a$で表せ．

(2)　$a\text{，}$$b$がともに整数であるとき，$a\text{，}$$b$を求めよ．