2025　岐阜薬科大学　中期MathJax

【１】　右の図のように，三角柱$\mathrm{ABC‐DEF}\text{，}$およびこの三角柱の全ての面に接する球$S$がある．ここで，三角柱$\mathrm{ABC‐DEF}$について，$\mathrm{BC}=6\text{，}$$\mathrm{CA}=10\text{，}$$\mathrm{\angle BCA}=120\mathrm{°}$であり，$3$つの側面$\mathrm{BEFC}\text{，}$$\mathrm{CFDA}\text{，}$$\mathrm{ADEB}$はいずれも長方形である．また，球$S$の中心を$\mathrm{O}$とする．

(1)　辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(2)　球$S$の半径，および辺$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．

(3)　線分$\mathrm{OE}$の長さを求めよ．

【２】　$1$つのさいころを投げる操作をくり返す．以下の問いに答えよ．

(1)　$n$回目の操作で初めて$1$の目が出る確率を$p_n$とする．$p_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$1$の目が$7$回出た時点でこの操作を終了する．このとき，$n$回目の操作で終了する確率を$q_n$とする．ただし，$n$は$7$以上の自然数とする．

(ⅰ)　$q_n$を$n$を用いて表せ．

(ⅱ)　$q_n$の値が最大となる$n$の値を求めよ．

【３】　$xy$平面において，方程式$3x^2+y^2=12$で表される曲線を$C$とする．

(1)　点$\mathrm{P}(a,b)$を通る傾き$m$の直線が曲線$C$に接するための必要十分条件を，$a\text{，}$$b\text{，}$$m$の式で表せ．

(2)　点$\mathrm{P}(a,b)$から曲線$C$に$2$本の接線が引け，かつ，その$2$本の接線が直交するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【４】　$k$を実数の定数とし，$f(\theta )={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta -k}{-\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta +2\sqrt{3}}}$とする．

(1)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$xy$平面上の点$\mathrm{P}$$(-\sin \theta$$+\sqrt{3}\cos \theta ,$$\sqrt{3}\sin \theta$$+\cos \theta )$の軌跡を求めよ．

(2)　$0\leqq \theta \leqq \pi$における$f(\theta )$の最大値が$4\sqrt{3}$であるとき，

(ⅰ)　$k$の値を求めよ．

(ⅱ)　$f(\theta )$が最大値$4\sqrt{3}$をとるときの$\cos \theta$の値を求めよ．

【５】　無限級数${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{3k-2}}$$=1$$-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$+{\displaystyle \frac{1}{7}}$$-{\displaystyle \frac{1}{10}}$$+\cdots$$+{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{3k-2}}+\cdots$の和を求める．以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数とするとき，等式${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(-1)}^{k-1}{x}^{3k-3}$$={\displaystyle \frac{1}{x^3+1}}$$+{(-1)}^{n+1}{\displaystyle \frac{x^{3n}}{x^3+1}}$を証明せよ．

(2)　等式${\displaystyle \frac{1}{x^3+1}}$$={\displaystyle \frac{A(2x-1)}{x^2-x+1}}$$+{\displaystyle \frac{B}{x^2-x+1}}$$+{\displaystyle \frac{C}{x+1}}$が$x$についての恒等式となるように，定数$A\text{，}$$B\text{，}$$C$の値を定めよ．

(3)　$n$を自然数とするとき，不等式$0\leqq {\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^{3n}}{x^3+1}}\mathit{dx}$$\leqq {\displaystyle \frac{1}{3n+1}}$を証明せよ．

(4)　$x-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\tan \theta$とおいて置換積分することにより，定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{x^2-x+1}}$の値を求めよ．

(5)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{3k-2}}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{3k-2}}$を求めよ．