2025　公立諏訪東京理科大学　推薦MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b$を実数とする．方程式$x^2+ax+b=0$が$x=2+i$を解にもつとき，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$5x^3$$+7x^2$$-20x-28$を因数分解せよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，方程式$\cos 2\theta -\sin \theta =0$の解を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　平面上に点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\sqrt{5}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\sqrt{10}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=5$となるとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(2)　${\log }_2(2^x-1)$$+{\log }_2(2^x+2)=x$の解を求めよ．

【３】　$k$を$k>0$をみたす定数とする．座標平面上の$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=x^2-4kx+8k$を考える．ここで，$C_1$と$C_2$の共通の接線を$l$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．

(2)　$l$の傾きを求めよ．

(3)　$l$と$C_1\text{，}$$l$と$C_2$の接点の$x$座標をそれぞれ求めよ．

(4)　$k=2$のとき，$C_1\text{，}$$C_2$および$l$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は最初，原点$\text{（}x=0\text{）}$にあり，サイコロを$1$回振って$5$以上の目が出ると正の方向に$1$進み，$4$以下の目が出ると負の方向に$1$進むものとする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，サイコロの$1$から$6$までの目が出る確率は等しいものとする．

(1)　サイコロを$2$回振るとき，点$\mathrm{P}$が原点に戻る確率を求めよ．

(2)　サイコロを$6$回振るとき，点$\mathrm{P}$が$4$回目に原点に戻り，かつ$6$回目にも原点に戻る確率を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$がサイコロを$6$回振って原点に戻ったとき，$4$回目にも原点に戻っていた条件つき確率を求めよ．

(4)　サイコロを$6$回振るとき，点$\mathrm{P}$の座標$x=3$となる確率を求めよ．

(5)　サイコロを$6$回振るとき，点$\mathrm{P}$の座標が$x\leqq 2$となる確率を求めよ．