2025　公立諏訪東京理科大学　中期MathJax

【１】　$k$を定数とする．座標平面上において，円$C\text{：}{x}^2+y^2$$-6x$$-6y$$+14=0$と直線$l\text{：}x+2y=k$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　円$C$の中心の座標を求めよ．

(2)　直線$l$と円$C$が$2$点で交わるとき，$2$つの交点を結んだ線分の長さが最大になる$k$の値とその線分の長さを求めよ．

(3)　直線$l$と円$C$が共有点をもつような$k$のとり得る値の範囲を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．また線分$\mathrm{AP}$上に点$\mathrm{Q}$をとり，直線$\mathrm{BQ}$と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{R}$とする．さらに，直線$\mathrm{CQ}$と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{S}$とする．ここで，三角形$\mathrm{CPQ}$の面積が三角形$\mathrm{ABC}$の面積の${\displaystyle \frac{1}{9}}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{AQ}:\mathrm{QP}$を求めよ．

(3)　$\mathrm{AS}:\mathrm{SB}$を求めよ．ただし，三角形$\mathrm{ASQ}$の面積が三角形$\mathrm{ABC}$の面積の${\displaystyle \frac{8}{45}}$であることは証明なしに用いてよい．

(4)　$\mathrm{AR}:\mathrm{RC}$を求めよ．

【３】　$m\text{，}$$n$を$0$以上の整数とし$f(x)$$=x^m{(1-x)}^n$とする．このとき，次の積分を考える．

$B(m,n)={\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}$

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$m>0\text{，}$$n>0$とするとき，$0\leqq x\leqq 1$において$f(x)$が最大となる$x$を求めよ．

(2)　$B(1,3)$を求めよ．

(3)　$B(m,n)=aB(m+1,n-1)$となる$a$を求め，さらに$B(m,n)$を求めよ．

(4)　次の積分を求めよ．

$I(m,n)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{2m+1}\theta {\cos }^{2n+1}\theta \mathit{d\theta }$

【４】　$n$枚のコインを所持した状態で，サイコロをふって偶数が出たらコインが$1$枚増え，奇数が出たらコインが$1$枚減るゲームを行う．所持しているコインが$0$枚または$N$枚になるまでゲームを続ける．ここで，$n$枚からスタートして$0$枚となってゲームを終了する確率を$p_n$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n\leqq N\text{，}$$p_0=1\text{，}$$p_N=0$とし，サイコロの$1$から$6$までの目が出る確率は等しいものとする．

(1)　$N=3$とするとき，$p_1$を求めよ．

(2)　$N=3$とするとき，$p_2$を求めよ．

(3)　$1\leqq x\leqq N-1$において$p_n=a{p}_{n+1}$$+b{p}_{n-1}$と表すことができる．$a$と$b$の値を求めよ．

(4)　$p_n$を$n$と$N$を用いて表せ．