2025　公立諏訪東京理科大学　前期MathJax

2025　公立諏訪東京理科大学　前期

易□　並□　難□

【１】　 $0 ≦ x ≦ 2 π$ において， $f (x) = \sin x \cos x$ $+ \sin x$ $+ \cos x + 3$ とする．ここで， $t = \sin x$ $+ \cos x$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $f (x)$ を $t$ の式で表せ．

(2)　 $t$ のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　 $f (x)$ の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの $x$ の値を求めよ．

(4)　方程式 $f (x) = a$ が相異なる $4$ つの解をもつような実数 $a$ のとり得る値の範囲を求めよ．

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【２】　数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が

$S_{n} = 5 a_{n} - 4 n + 3$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

をみたすとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $a_{1} ，$ $a_{2}$ および $a_{3}$ を求めよ．

(2)　 $a_{n + 1}$ を $a_{n}$ を用いて表せ．

(3)　数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

(4)　 $S_{n}$ を $n$ を用いて表せ．

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【３】　 $a$ を定数とし， $e$ を自然対数の底とする． $I (a) = \int_{0}^{1} | e^{x} - a | dx$ とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $a ≦ 1$ のとき， $I (a)$ を求めよ．

(2)　 $a ≧ 1$ のとき， $I (a)$ を求めよ．

(3)　 $0 ≦ a ≦ e$ のとき， $I (a)$ の最大値と最小値を求めよ．

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【４】　次のような $3$ つの箱 $A ，$ $B ，$ $C$ がある．

箱 $A$ ： $1$ から $4$ までの数字が $1$ つずつ書かれた玉がそれぞれ $1$ つずつ，計 $4$ つ入っている．

箱 $B$ ： $1$ から $6$ までの数字が $1$ つずつ書かれた玉がそれぞれ $1$ つずつ，計 $6$ つ入っている．

箱 $C$ ： $1$ から $8$ までの数字が $1$ つずつ書かれた玉がそれぞれ $1$ つずつ，計 $8$ つ入っている．

ここで，それぞれの箱において個々の玉の取り出される確率は等しいものとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $2$ つの箱 $A ，$ $B$ から玉を $1$ つずつ取り出すとき， $2$ つの出た数字が等しい確率を求めよ．

(2)　 $2$ つの箱 $B ，$ $C$ から玉を $1$ つずつ取り出すとき， $2$ つの出た数字の和が $3$ 以上となる確率を求めよ．

(3)　 $3$ つの箱 $A ，$ $B ，$ $C$ から玉を $1$ つずつ取り出すとき， $3$ つの出た数字の積が $2$ の倍数となる確率を求めよ．

(4)　 $3$ つの箱 $A ，$ $B ，$ $C$ から玉を $1$ つずつ取り出すとき， $3$ つの出た数字の積が $6$ の倍数となる確率を求めよ．