2025　公立小松大　前期MathJax

【１】　原点を$\mathrm{O}$とする平面内の$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\sqrt{3}$を満たすとする．実数$t$は$0<t<1$を満たすとし，辺$\mathrm{AB}$を$1-t:t$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．

(2)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}^2$を$t$を用いて表せ．

(3)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|}^2$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

【２】　はじめに，ハート，ダイヤ，スペードの$3$つのマーク毎に，ジャック，クイーン，キングの合計$9$枚のカードを箱の中に入れる．この箱の中のカードを，次の操作で順次更新する．

---

(操作)

(a)　箱の中からカードを$1$枚取り出す．

(b)　(a)で取り出したカードがハートであればそのカードは箱には戻さず，ハートでなければ箱に戻す．

---

　この操作で更新を繰り返すゲームを行い，ハートのカード$3$枚すべてが箱から取り出されたらゲームは終了とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$1$回目の操作でハートのカードが出る確率を求めよ．

(2)　$1$回目の操作でハートが出て，$4$回目の操作でゲームが終了する確率を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2}{4-x^2}}$の定義域を$-2<x<2$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$の接線で，原点を通る$2$直線の方程式を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の不定積分を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と(1)で求めた$2$接線によって囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　関数$f(x)=x^3$$-6x^2+9x$について，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(2)　実数$k$に対して，方程式$f(x)=k$が異なる$3$つの実数解をもつように$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　(2)の$3$つの実数解のうち最大のものを$\alpha$とするとき，$\alpha$のとりうる値の範囲を求めよ．