2025　富山県立大学　前期工,情報工学部MathJax

【１】　四角形$\mathrm{PQRS}$を底面とする四角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$$\mathrm{A‐PQRS}$の辺上を動く点$\mathrm{X}$を考える．$\mathrm{X}$は頂点$\mathrm{A}$を出発し，$1$回目の移動で頂点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$のいずれか$1$つに等しい確率で移動する．以後同様に，$\mathrm{X}$は$1$回の移動で，そのときにいる頂点から$1$辺で結ばれた別の頂点のいずれか$1$つに等しい確率で移動する．また，同じ頂点に留まることはないものとする．正の整数$n$に対し，$X$が$n$回目の移動後に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$にいる確率をそれぞれ$a_n\text{，}$$p_n\text{，}$$q_n\text{，}$$r_n\text{，}$$s_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$p_1\text{，}$$a_2$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$p_n\text{，}$$q_n\text{，}$$r_n\text{，}$$s_n$を用いて表せ．

(3)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(4)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

【２】　$p$を素数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$q_1\text{，}$$q_2\text{，}$$q_3\text{，}$$\cdots$の各数が$p$の倍数でない正の整数であるとき，すべての正の整数$n$について，$q_1$から$q_n$までの積$x_n$は，$p$の倍数でない正の整数であることを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，必要であれば，命題$\text{「}2$つの正の整数$a\text{，}$$b$および素数$c$について，$a$と$b$のどちらも$c$の倍数でないならば，$a$と$b$の積$ab$は$c$の倍数でない」が成り立つことを用いてよい．

(2)　$p$より小さい正の整数$r$について，$p$個から$r$個取る組合せの総数${}_{p}C_r$は，$p$の倍数であることを示せ．ただし，必要であれば，${}_{p}C_r$が正の整数であることは証明なしに用いてよい．

(3)　すべての正の整数$n$について，$n^p+(p-1)n$は$p$の倍数であることを，数学的帰納法を用いで示せ．

【３】　$e$を自然対数の底とする．関数$f(x)=(x^3-9x^2+11x-11)e^x$について，次の問いに答えよ．ただし，必要であれば，$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3{e}^x=0$は証明なしに用いてよい．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0$を示せ．

(3)　$a$を定数とするとき，方程式$f(x)=a$の異なる実数解の個数を調べよ．

【４】　$\log x$を$x$の自然対数とし，$e$を自然対数の底とする．関数$f(x)\text{，}$$g(x)$をそれぞれ

$f(x)={\displaystyle \frac{\cos (\log x)}{x}}$$\text{（}1<x<e^{2\pi }\text{）}$

$g(x)=\cos (\log x)$$\text{（}1<x<e^{2\pi \text{）}}$

と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)\geqq g(x)$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

(2)　(1)で求めた$x$の値の範囲において，曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．