2025　横浜市立大学　前期MathJax

【１】　以下の各問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　方程式

${\displaystyle \frac{1}{x-2}}+{\displaystyle \frac{6}{5}}$$={\displaystyle \frac{1}{x-1}}-{\displaystyle \frac{5}{x^2+3x-4}}$

の解をすべて求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(2)　次のように定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=a_n+3^{n-1}$

【１】　以下の各問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(3)　$x>0$のとき，

${\displaystyle \frac{x^3+3x^2+3x+5}{x^2+2x+1}}$

の最小値を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(4)　$n$が$100$以上の整数であるとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}}$が有理数になるような最小の$n$の値を求めなさい．

【２】　正の整数について，各位の数字を逆の順番に並べて得られる数がもとの数と同じになる数を回文数といいます．

　すなわち，正の整数$n$にたいして，$n$桁の正の整数

$x={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_i\times {10}^{i-1}$$\text{（ただし，}{a}_i=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}9\text{であり}{a}_n\ne 0\text{）}$

について，$a_{n+1-i}=a_i$がすべての$i=1\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$にたいして成り立つときに，$x$を回文数といいます．

　これによると，たとえば，$11\text{，}$$212\text{，}$$1001$などのような数や$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$9$のような一桁の数は回文数であるといえます．

　このとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)　小さい方からかぞえて$19$番目の回文数を答えなさい．

(2)　$101\leqq x\leqq 9999$をみたす回文数$x$の個数を求めなさい．

(3)　$N$を正の整数とするときに，${10}^{2N}$より小さな回文数の個数を$N$を用いて書き表しなさい．

(4)　小さい方からかぞえて$2025$番目の回文数を答えなさい．

【３】　$x-y-z=-3$で表される平面を$\alpha$とおき，$x^2+y^2+z^2$$-2x$$-4y$$-4z$$+6=0$で表される球を$S$とおきます．

　以下の各問いに答えなさい．

(1)　原点$\mathrm{O}(0,0,0)$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とおくとき，線分$\mathrm{OH}$の長さを求めなさい．

(2)　平面$\alpha$と球$S$の交わりで作られる平面$\alpha$上の円$C$の面積を求めなさい．

(3)　円$C$の円周上を動く点を$\mathrm{P}$とおくとき，線分$\mathrm{HP}$の長さが最大になるような$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

【４】　以下の各問いに答えなさい．

(1)　関数${\displaystyle \frac{1+\tan x}{1-\tan x}}$の導関数を求めなさい．

【４】　以下の各問いに答えなさい．

(2)　関数${\displaystyle \frac{\sin x-1}{1+{\cos }^{2}x}}$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$の極値をすべて求めなさい．

【４】　以下の各問いに答えなさい．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{{\sin }^{3}x}{1-\cos x}}\mathit{dx}$の値を求めなさい．

【４】　以下の各問いに答えなさい．

(4)　曲線$y=\sin x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と$y$軸および直線$y=1$によって囲まれた部分を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めなさい．

【５】　ある大学で$500$点満点の入学試験を実施したところ，受験者数は$1000$名，平均点は$300$点，標準偏差は$50$点であった．得点の分布が正規分布に従うとみなすとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)　確率変数$Z$が標準正規分布に従うとする．$Z\geqq \alpha$となる確率を$P(Z\geqq \alpha )$と表すとき，$P(Z\geqq \alpha )=0.33$となるような$\alpha$の値を求めなさい．

(2)　合格者が$330$人であったとき，合格最低点を求めなさい．

《編注》正規分布表が添付されている．