2025　東京都立大　後期MathJax

【１】　自然数$n$に対し，

$I_n={\displaystyle \frac{{(-1)}^n}{n!}}{\displaystyle {\int }_1^e}{(\log x)}^n\mathit{dx}$

とおく．ただし，$e$は自然対数の底とし，$\log$は自然対数とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$I_1$の値を求めなさい．必要ならば部分積分を用いてよい．

(2)　$n\geqq 2$のとき，次の等式が成り立つことを示しなさい．

$I_n-I_{n-1}={\displaystyle \frac{{(-1)}^{n}e}{n!}}$

(3)　$n\geqq 2$のとき，次の等式が成り立つことを示しなさい．

$I_n=-1+e{\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{k!}}$

(4)　次の等式が成り立つことを示しなさい．

${\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{k!}}={\displaystyle \frac{1}{e}}$

【２】　座標空間内において，原点$\mathrm{O}$と点$(1,1,-1)$と点$(1,-1,1)$の$3$点が定める平面を$\alpha$とする．また，$2$点$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})\text{，}$$\mathrm{P}(0,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$を通る直線を$l$とし，直線$l$と平面$\alpha$の交点を$\mathrm{B}$とする．さらに，点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{Q}(0,-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$の$2$点を通る直線を$m$とし，直線$m$と球面$x^2+y^2$$+z^2=1$の$2$つの交点のうち，点$\mathrm{Q}$とは異なる点を$\mathrm{C}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{C}$の座標を求めなさい．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|+2\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めなさい．

【３】　$c$は正の実数とする．数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle \frac{(n+1+c)c^n}{n(n+1){(c+1)}^n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．以下の問いに答えなさい．

(1)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めなさい．

(2)　$n$にどのような自然数を代入しても次の等式が成り立つような整数$p\text{，}$$q$を求めなさい．

$a_n={\displaystyle \frac{p{c}^n}{n{(c+1)}^{n-1}}}$$+{\displaystyle \frac{q{c}^{n+1}}{(n+1){(c+1)}^n}}$

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の和を$c$を用いて表しなさい．

【４】　$c$は正の実数とする．自然数$n$に対して

$a_n={\displaystyle {\int }_0^c}{e}^{c-x}{(1+{\displaystyle \frac{x}{n}})}^n\mathit{dx}\text{，}$$b_n={\displaystyle {\int }_0^c}{e}^{c-x}{(1+{\displaystyle \frac{x}{n}})}^{n-1}\mathit{dx}$

と定める．以下の問いに答えなさい．

(1)　$a_1$を$c$を用いて表しなさい．

(2)　$n$を自然数とするとき，$x\geqq 0$の範囲で${(1+{\displaystyle \frac{x}{n}})}^{n-1}\leqq e^x$が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示しなさい．

(3)　$n$を自然数とするとき，$a_n-b_n\leqq {\displaystyle \frac{e^c{c}^2}{2n}}$が成り立つことを示しなさい．