2025　東京都立大　前期MathJax

【１】　次の条件によって定まる数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$について考える．

$a_1=4\text{，}$$b_1=2\text{，}$$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=4a_n^3{b}_n^4\\ b_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n{b}_n^3\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問いに答えなさい．

(1)　数列$\{c_n\}$を

$c_n={\log }_2{a}_n-2{\log }_2{b}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．$\{c_n\}$の一般項を求めなさい．

(2)　数列$\{d_n\}$を

$d_n={\log }_2{a}_n+2{\log }_2{b}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．$\{d_n\}$の一般項を求めなさい．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項を求めなさい．

【２】　自然数$n$に対し，

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^{n}x\mathit{dx}$

とおく．以下の問いに答えなさい．

(1)　$I_1$と$I_2$の値を求めなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{I_{n+2}}{I_n}}$を求めなさい．必要ならば部分積分を用いてよい．

(3)　$(n+1)I_n{I}_{n+1}$を求めなさい．

【３】　右の図の直方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{AD}=1\text{，}$$\mathrm{AE}=2$とする．$t$は$0<t<1$をみたす実数とする．線分$\mathrm{BF}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$\theta =\mathrm{\angle CPE}$とおく．$\cos \theta$を$t$を用いて表しなさい．

(2)　$\mathrm{▵CEP}$の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を$t$を用いて表しなさい．

(3)　$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，(2)の$S(t)$の最小値を求めなさい．また，そのときの$t$の値を求めなさい．

【１】　$a$は$a>1$をみたす実数とする．座標平面において，連立不等式

$0\leqq x\leqq 1\text{，}$$0\leqq y\leqq a{x}^2$

の表す領域の面積を$S_1(a)$とし，連立不等式

$0\leqq x\leqq 1\text{，}$$1\leqq y\leqq a{x}^2$

の表す領域の面積を$S_2(a)$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$S_1(a)$を$a$を用いて表しなさい．

(2)　$S_2(a)$を$a$を用いて表しなさい．

(3)　$a$が$a>1$の範囲を動くとき，$S_1(a)-2S_2(a)$の値が最大となる$a$の値を求めなさい．

【２】　$w={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$とし，$\alpha$を$0$でない複素数とする．ただし，$i$は虚数単位を表す．自然数$n$に対して

$b_n=\{\begin{array}{c}1\text{（}n\text{が奇数のとき）}\\ 2\text{（}n\text{が偶数のとき）}\end{array}$

と定め，

$z_n=b_n{w}^n\alpha$

と定める．以下の問いに答えなさい．

(1)　$w$を極形式で表しなさい．

(2)　$1+w^2+w^4$の値を求めなさい．

(3)　${\displaystyle \frac{(z_{n+2}-z_n)(z_{n+4}-z_n)}{z_n^2}}$を求めなさい．

(4)　${\displaystyle \frac{(z_{n+1}-z_n)(z_{n+3}-z_n)(z_{n+5}-z_n)}{z_n^3}}$を求めなさい．

【３】　平面上で，点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を考える．この円を内接円とする二等辺三角形$\mathrm{ABC}$（ただし$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}\text{）}$を考える．点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}$に下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{OD}\text{，}$$\mathrm{OE}$とする．また，線分$\mathrm{BE}$の長さを$x$とし，$\mathrm{▵ABC}$の面積と周の長さをそれぞれ$S$と$L$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　線分$\mathrm{AE}$の長さを$y$とする．$y$を$x$を用いて表しなさい．

(2)　線分$\mathrm{AD}$の長さを$z$とする．$z$を$x$を用いて表しなさい．

(3)　$x$が$x>1$の範囲を動くとき，${\displaystyle \frac{S}{L}}$の値を求めなさい．

(4)　$x$が$x>1$の範囲を動くとき，${\displaystyle \frac{L^2}{S}}$の値が最小となる$x$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$t=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$$\text{（}x\ne 0\text{）}$とおく．

$x^2+x-10+{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$

を$t$を用いて表しなさい．

(2)　方程式

$x^4+x^3-10x^2+x+1=0$

の解をすべて求めなさい．

【２】　$a$は$a>1$をみたす実数とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$a^2-a+1>1$が成り立つことを示しなさい．

(2)　$a+1-\sqrt{a^2-a+1}<3$が成り立つことを示しなさい．

(3)　縦の長さが$1$で横の長さが$a$である長方形の厚紙がある．この長方形の厚紙の$4$すみから，$1$辺の長さが$x$$(0<x<{\displaystyle \frac{1}{2}})$の正方形を切り取り，残りの部分を折り曲げてふたのない箱を作る．この箱の容積$V$を最大にする$x$を$a$を用いて表しなさい．

【３】　関数$f(t)$を

$f(t)=(t+1)|t-2|-t^2+3t$$\text{（}1\leqq t\leqq 3\text{）}$

と定め，関数$g(x)$を

$g(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}f(t)\mathit{dt}$$\text{（}1\leqq x\leqq 2\text{）}$

と定める．以下の問いに答えなさい．

(1)　関数$f(t)$の最大値と最小値を求め，そのときの$t$の値をそれぞれすべて求めなさい．

(2)　$x$が$1\leqq x\leqq 2$をみたす実数であるとき，定積分${\displaystyle {\int }_x^{x+1}}f(t)\mathit{dt}$を計算しなさい．

(3)　関数$g(x)$の最大値と最小値を求め，そのときの$x$の値をそれぞれすべて求めなさい．

【４】　座標平面上の$6$個の点${\mathrm{A}}_n(\cos {\displaystyle \frac{n}{3}}\pi ,\sin {\displaystyle \frac{n}{3}}\pi )$$\text{（}n=0\text{．}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{）}$を頂点とする正六角形${\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_5$を考える．この正六角形の$9$本の対角線

${\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_5\text{，}$${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_5\text{，}$${\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_5$

の中から異なる$2$つの対角線を同時に選ぶ．ここで，$2$つの対角線の選び方は同様に確からしいとする．以下の問いに答えなさい．ただし，本問では$2$つの対角線のなす角の大きさは$0$以上${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$以下で表すものとする．たとえば，${\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$は${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$に直して考えるものとする．また，平行な$2$つの対角線のなす角は$0$と考えるものとする．

(1)　選ばれる$2$つの対角線のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となる確率を求めなさい．

(2)　選ばれる$2$つの対角線のなす角が$0$となる確率を求めなさい．

(3)　選ばれる$2$つの対角線のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$となる確率を求めなさい．

(4)　選ばれる$2$つの対角線のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$となる確率を求めなさい．