2025　前橋工科大学　前期MathJax

【１】　実数の数列$\{a_n\}$を$a_3=24\text{，}$$a_6=192$である等比数列とする．また，数列$\{b_n\}$を条件

$b_1=3\text{，}$$b_2=16\text{，}$$b_{n+2}-12b_{n+1}+32b_n=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められる数列とする．次の問いに答えなさい．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

(2)　$b_{n+2}-\alpha b_{n+1}=\beta (b_{n+1}-\alpha b_n)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たす定数$\alpha \text{，}$$\beta$の組を$2$組求めなさい．

(3)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めなさい．

(4)　不等式$b_n<400a_n$を満たす最大の$n$の値を求めなさい．

【２】　空間内に四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表しなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表しなさい．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表しなさい．

(4)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OF}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AF}}\right|$のとき，${\left|\overrightarrow{a}\right|}^2$を$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$を用いて表しなさい．

(5)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OF}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AF}}\right|$のとき，$\mathrm{\angle OAB}=90\mathrm{°}$であるための必要十分条件は$\mathrm{\angle AOC}=90\mathrm{°}$であることを示しなさい．

【３】　$2$つの関数

$f(x)=e^x\text{，}$$g(x)=1+x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$

を考える．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$を$C_1$とし，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．次の問いに答えなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　すべての実数$x$について，不等式$e^x\geqq 1+x$が成り立つことを示しなさい．

(2)　$x>0$のとき$f(x)>g(x)$が成り立ち，$x<0$のとき$f(x)<g(x)$が成り立つことを示しなさい．

(3)　$a$を正の実数とする．$2$曲線$C_1\text{，}$$C_2$と直線$x=a$によって囲まれた部分の面積を$S(a)$とし，$2$曲線$C_1\text{，}$$C_2$と直線$x=-a$によって囲まれた部分の面積を$T(a)$とする．このとき，不等式$T(a)<S(a)$が成り立つことを示しなさい．

【４】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{81x^8}{{(x^3+4)}^4}}$$\text{（}x\ne -\sqrt[3]{4}\text{）}$

について，次の問いに答えなさい．

(1)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$および$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を求めなさい．

(2)　導関数$f^{\prime }(x)$を求め，$f^{\prime }(x)=0$を満たす実数$x$の値をすべて求めなさい．

(3)　関数$y=f(x)$の増減を調べて，そのグラフの概形をかきなさい．ただし，凹凸は調べなくてよい．

(4)　$a$は$a>4$を満たす実数とし，$I(a)={\displaystyle {\int }_0^{\sqrt[3]{a-4}}}f(x)\mathit{dx}$とする．$I(a)$の値を$a$を用いて表しなさい．

(5)　(4)の$I(a)$について，極限$\underset{a\to \infty }{\lim }I(a)$を求めなさい．