2025　高崎経済大学　中期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．ただし，計算等の過程は記入しないこと．

(1)　座標平面において，点$(-5,4)$を通り，$x$軸に垂直な直線の方程式を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．ただし，計算等の過程は記入しないこと．

(2)　$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$のとき，次の式の値を求めよ．

$\text{(ⅰ) }x+x^{-1}$$\text{(ⅱ) }{x}^3+x^{-3}$

【１】　次の各問に答えよ．ただし，計算等の過程は記入しないこと．

(3)　第$10$項が$50\text{，}$第$20$項が$0$である等差数列$\{a_n\}$がある．

(ⅰ)　一般項$a_n$を求めよ．

(ⅱ)　$-5225$は第何項か．

【１】　次の各問に答えよ．ただし，計算等の過程は記入しないこと．

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}\text{，}$辺$\mathrm{CA}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$で表す．$a=15\text{，}$$b=7\text{，}$$c=13$のとき，次の各問に答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{\angle C}$の大きさ$C$を求めよ．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．ただし，計算等の過程は記入しないこと．

(5)　$5$個の数字$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$を使ってできる$4$桁の整数について，次の各問に答えよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．

(ⅰ)　$2$の倍数の個数を求めよ．

(ⅱ)　$2025$以上の整数の個数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．ただし，計算等の過程は記入しないこと．

(6)　右の表は，$5$人の生徒に$10$点満点の$2$種類のテスト$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を行った得点の結果である．$\mathrm{A}$の得点と$\mathrm{B}$の得点の相関係数を求めよ．

【２】　面積が$1$である三角形$\mathrm{ABC}$の内部に$\overrightarrow{\mathrm{AX}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を満たす点$\mathrm{X}$をとる．直線$\mathrm{AX}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$\mathrm{BX}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$\mathrm{CX}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AX}}$とする．実数$k$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{BP}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{QA}}{\mathrm{CQ}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{RB}}{\mathrm{AR}}}$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{\mathrm{CX}}{\mathrm{XR}}}$の値を求めよ．

(4)　四角形$\mathrm{CQXP}$の面積$S$を求めよ．

【３】　次の各問に答えよ．

(1)　$t=\cos \theta$とおくとき，$\cos 3\theta +\cos \theta$を$t$の式で表せ．ただし，計算等の過程は記入しないこと．

(2)　$0\leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，$\theta$に関する方程式$\cos 3\theta +\cos \theta =0$を解け．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{2}}\pi <\theta <{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$のとき，不等式$\cos 3\theta +\cos \theta \geqq 0$を満たす$\theta$の範囲を求めよ．

【４】　$a$を実数として$f(x)=x^2$$+(a-3)x$$-2a^2+3a$とおく．次の各問に答えよ．ただし，$\alpha \text{，}$$\beta$を実数とするとき，

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )\mathit{dx}$$=-{\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$

が成り立つことを証明なしで用いてよい．

(1)　$f(1)$を求めよ．ただし，計算等の過程は記入しないこと．

(2)　$f(x)=0$を満たす$x$が，必ず$0$以上$2$以下となるための$a$の条件を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^2}f(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．ただし，計算等の過程は記入しないこと．

(4)　${\displaystyle {\int }_{-2a+3}^a}f(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．ただし，計算等の過程は記入しないこと．

(5)　(2)で求めた条件を満たす$1$以上の$a$に対して

$S(a)={\displaystyle {\int }_0^2}|f(x)|\mathit{dx}$

とおく．$S(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．