2025　高崎経済大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{a}=(-3,1)$に垂直で，大きさ$\sqrt{5}$のベクトル$\overrightarrow{u}$をすべて求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(2)　$2$次関数$f(x)$が次の条件を満たすとき，$f(x)$を求めよ．

$f(1)=8\text{，}$$f^{\prime }(1)=-3\text{，}$$f^{\prime }(0)=5$

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(3)　$2$直線$2x-y$$-1=0\text{，}$$x-4y$$+4=0$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(4)　変量$x$の$n$個の値$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$を考える．$x_k=k$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$とするとき，$x$のデータの平均値と分散をそれぞれ$n$を用いて表せ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(5)　$3$次方程式$x^3+a{x}^2$$+19x$$+b=0$を$1$と$3$を解にもつとき，定数$a\text{，}$$b$の値を求めよ．また，他の解を求めよ．

【２】　右図のように$1$辺の長さが$1$の正方形があり，その頂点を時計回りに$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$とする．最初，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に止まっており，以下のルールに従って正方形の頂点から頂点へ時計回りに移動する．

ルール１：最初，点$\mathrm{P}$が止まっている頂点$\mathrm{A}$において，さいころを$1$回振る．$1$または$2$の目が出たならば，点$\mathrm{P}$は時計回りに$1$だけ移動して止まる．$3$以上の目が出たならば時計回りに$2$だけ移動して止まる．

ルール２：点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のいずれかに止まったら，さいころを$1$回振る．$1$または$2$の目が出たならば，点$\mathrm{P}$は時計回りに$1$だけ移動して止まる．$3$以上の目が出たならば時計回りに$2$だけ移動して止まる．

ルール３：点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$から移動して，再び頂点$\mathrm{A}$に止まったら，さいころは振らず，移動を終了する．ここでは，点$\mathrm{P}$が再び頂点$\mathrm{A}$に止まり，頂点から頂点への移動を終了することを「上がり」という．

　例えば，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$に止まったとする．さいころを$1$回振り，$1$または$2$の目が出たならば，点$\mathrm{P}$は$1$だけ移動して頂点$\mathrm{A}$に止まり，「上がり」となる．一方，$3$以上の目が出たならば，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$を通過して頂点$\mathrm{B}$まで移動して止まる．

　最初の頂点$\mathrm{A}$からの移動を$1$周目であるとする．その後，点$\mathrm{P}$が「上がり」とはならずに頂点$\mathrm{A}$を通過した回数を$n$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$\cdots \text{）}$とするとき点$\mathrm{P}$は$n+1$周目であるという．以下の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が$1$周目で頂点$\mathrm{C}$に止まる確率を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$1$周目で頂点$\mathrm{D}$に止まる確率を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$1$周目で「上がり」となる確率を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}$が$2$周目まで移動し続け，かつ$2$周目で頂点$\mathrm{D}$に止まる確率を求めよ．

【３】　$a$を正の整数とし，座標平面上における$2$つの放物線$C_1\text{：}y=-x^2+3\text{，}$$C_2\text{：}y={(x-a)}^2-1$を考える．以下の各問に答えよ．

(1)　$2$つの放物線$C_1\text{，}$$C_2$が異なる$2$点で交わるような$a$の値をすべて求めよ．

(2)　$a=2$とする．このとき，$2$つの放物線$C_1\text{，}$$C_2$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(3)　$2$つの放物線$C_1\text{，}$$C_2$が異なる$2$点で交わり，かつその$2$つの放物線で囲まれた図形の面積を最大にするような$a$の値を求めよ．

【４】　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　${\log }_{10}4\text{，}$${\log }_{10}6$の値を求めよ．なお，解答は答えのみでよい．

(2)　次の等式を証明せよ．

${\log }_{10}5=0.6990$

(3)　$6^{10}$は何桁の数か答えよ．

(4)　$k$を$1$以上$6$以下の整数とする．$0$以上$10$以下の整数$n$であって，$k^n{6}^{10-n}$が$8$桁以上の数になるもののうち，最大の$n$を$n_k$とする．$n_k=4$のとき，$k$の値を求めよ．