2025　福島県立医科大学　総合型選抜MathJax

【１】　次の問１と問２に答えよ．

問１　不等式$1+{\log }_y(x^2-4x+3)$$\leqq {\log }_y(x-y)$の表す領域を図示せよ．また，その領域に境界線を加えた図形の面積を求めよ．なお，解答に至るまでの導出過程も記述すること．

【１】　次の問１と問２に答えよ．

問２　次の文章を読み，設問(1)〜(6)に答えよ．

　$a_n={(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n\text{，}$$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$が次の不等式を満たすことを示そう．

(ⅰ)　$a_n<a_{n+1}$(ⅱ)　$2\leqq a_n<3$$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

はじめに，次の評価から(ⅰ)がわかる．

$\begin{array}{cc}\hfill a_n& ={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}{\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}^k\cdot 1^{n-k}\text{(*1)}\hfill \\ & ={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{1}{k!}}{\displaystyle \frac{(n-k+1)\cdot (n-k+2)\cdots (n-1)n}{n^k}}\hfill \\ & ={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{1}{k!}}(1-{\displaystyle \frac{k-1}{n}})(1-{\displaystyle \frac{k-2}{n}})\cdots (1-{\displaystyle \frac{1}{n}})\cdot 1\text{(*2)}\hfill \\ \text{㋐}\to & <{\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{1}{k!}}(1-{\displaystyle \frac{k-1}{n+1}})(1-{\displaystyle \frac{k-2}{n+1}})\cdots (1-{\displaystyle \frac{1}{n+1}})\cdot 1\hfill \\ & ={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{1}{k!}}{\displaystyle \frac{(n+1-k+1)\cdot (n+1-k+2)\cdots n(n+1)}{{(n+1)}^k}}\hfill \\ & ={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}}{\left({\displaystyle \frac{1}{n+1}}\right)}^k\cdot 1^{n+1-k}\hfill \\ \text{㋑}\to & <a_{n+1}\hfill \end{array}$

また，数式$(\text{*2})$で括弧$()$の部分をすべて$1$で置き換え，$k!\geqq 2^{k-1}$$\text{㋒}$を利用すると，

$a_n<{\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{1}{k!}}$$=1+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k!}}$$\leqq 1+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{k-1}$$\underset{\underset{\text{㋓}}{\uparrow }}{<}3$

が導かれる．$a_1=2$だから，(ⅰ)から(ⅱ)がわかる．

(1)　等式$\text{(*1)}$において用いられている定理を述べ，証明せよ．

(2)　不等式$\text{㋐}$が成り立つ理由を説明せよ．

(3)　不等式$\text{㋑}$が成り立つ理由を説明せよ．

(4)　下線$\text{㋒}$の不等式がすべての自然数$k$について成り立つことを示せ．

(5)　等比数列の和を計算することにより，不等式$\text{㋓}$が成り立つことを示せ．

(6)　極限値$e=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$の存在が知られており，このことは(ⅰ)と(ⅱ)を利用して証明できる．それではどうして(ⅰ)と(ⅱ)が成立すると極限値が存在するといえるのだろうか．その理由を考察せよ．