2025　福島県立医科大学　推薦MathJax

【１】　以下の各問いに答えよ．なお，解答に至るまでの考え方・導出過程も記述すること．

問１　囲碁や将棋の棋戦などにおいて，同じ$2$名の対局者が複数回の対局を行い，勝数が多い方を勝利者とする仕組みを番勝負という．$3$番勝負では先に$2$勝，$5$番勝負では先に$3$勝した方が勝利者であり，勝敗が決まった場合，残りの対局は実施しない．

　$2$人で対戦するボードゲームがある．引き分けはなく，必ず勝ち負けが決着する．太郎と花子の$2$人がこのボードゲームで番勝負を行う場合を考える．$1$回の対局において太郎が花子に勝つ確率を$p$$\text{（}0\leqq p\leqq 1\text{）}$とし，$n$番勝負を行って太郎が勝利者となる確率を$b_n(p)$とする．ただし，$n$は正の奇数である．また，$b_{n+2}(p)$と$b_n(p)$の大小関係を調べるために$d_n(p)$$=b_{n+2}(p)$$-b_n(p)$と定める．番勝負の勝利確率に関する以下の問いに答えよ．

(1)　$b_3(p)$と$d_1(p)$をそれぞれ$p$の整式として表せ．また，$d_1\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$の値を求めよ．

(2)　$b_1(p)$と$b_3(p)$の大小関係を調べよ．

(3)　$b_5(p)$と$d_3(p)$をそれぞれ$p$の整式として表せ．

(4)　整式$d_3(p)$を整式$d_1(p)$で割ったときの商を求めよ．

(5)　$b_3(p)$と$b_5(p)$の大小関係を調べよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．なお，解答に至るまでの考え方・導出過程も記述すること．

問２　関数$f(x)=x^2+a\sqrt{a^2-x^2}+b^2$の最大値が$5$であるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}$$b$は実数とする．

(1)　条件を満たす$(a,b)$の集合を$ab$平面に描け．

(2)　$(a,b)$が(1)の集合上を変化するとき，関数$f(x)$の最小値$m$が変化する範囲を求めよ．