2025　福島県立医科大学　前期MathJax

【１】　以下の各問いに答えよ．

(1)　$a_1=1\text{，}$$a_2=8\text{，}$$a_n{a}_{n+2}=4a_{n+1}^2$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(2)　赤玉$5$個と白玉$19$個，計$24$個の玉がある．また，$3$行$8$列のマス目状の器があり，$1$つのマスに$1$個の玉が入る．$24$個の玉をこの器にランダムに配置する．このとき，赤玉を$1$個以上含む列が$4$つ以下である確率を求めよ．また，赤玉を$1$個以上含む列が$3$つである確率を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(3)　微分可能な関数$f(x)$が，$x\geqq 0$で不等式$f^{\prime }(x)\leqq -2xf(x)$を満たすとき，$x\geqq 0$で不等式$f(x)\leqq f(0)e^{-x^2}$が成り立つことを示せ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(4)　双曲線$x^2-y^2=-1$と直線$y=2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(5)　媒介変数$t$を用いて$x=\cos t\text{，}$$y=\sin 2t$と表される曲線の概形を描け．

【２】　図１のような正五角形${\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4$について，$5$つの三角形$▵{\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_0\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1$の重心をそれぞれ${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_3\text{，}$${\mathrm{B}}_4\text{，}$${\mathrm{B}}_0$とする．また，$5$つの三角形$▵{\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_0\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2$の重心をそれぞれ${\mathrm{C}}_0\text{，}$${\mathrm{C}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_2\text{，}$${\mathrm{C}}_3\text{，}$${\mathrm{C}}_4$とする．$\theta =72\mathrm{°}$として，以下の問いに答えよ．

(1)　$2$点${\mathrm{A}}_0\text{，}$${\mathrm{A}}_1$の座標が${\mathrm{A}}_0(1,0)\text{，}$${\mathrm{A}}_1(\cos \theta ,\sin \theta )$となるように$x$軸と$y$軸を定める．${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4$の座標を$\theta$で表せ．

(2)　図２を参考にして，$\cos 72\mathrm{°}$と$\cos 36\mathrm{°}$の値を求めよ．ただし，二重根号は用いないこと．

(3)　$3$点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_1$は同一直線上にあることを示せ．

(4)　五角形${\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4$の面積を$S_a\text{，}$五角形${\mathrm{B}}_0{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_3{\mathrm{B}}_4$の面積を$S_b\text{，}$五角形${\mathrm{C}}_0{\mathrm{C}}_1{\mathrm{C}}_2{\mathrm{C}}_3{\mathrm{C}}_4$の面積を$S_c$とする．面積比$S_a:S_b:S_c$を求めよ．

【３】　$a>1\text{，}$$0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，座標空間内の$4$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(-1,0,0)\text{，}$$\mathrm{C}(a\cos \theta ,a\sin \theta ,1)\text{，}$$\mathrm{D}(-a\cos \theta ,-a\sin \theta ,1)$を考える．$s=\sin \theta$として，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$を含む平面を$\alpha \text{，}$$\mathrm{▵ABD}$を含む平面を$\beta$とする．$\alpha$と$\beta$の両方に接する球で，中心の$z$座標が$t$$\text{（}t>0\text{）}$であるものの半径を$a\text{，}$$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　四面体$\mathrm{ABCD}$に内接する球の半径と中心の座標を$a\text{，}$$s$を用いて表せ．

(3)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を$V_1\text{，}$内接球の体積を$V_2$とし，極限値$\rho (s)=\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a{V}_2}{V_1}}$を考える．$\theta$を変化させたとき，$\rho (s)$が最大となる$s$の値を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(1)　$i$を虚数単位とする．$z+w=3+7i\text{，}$${\displaystyle \frac{w}{z}}=-2+i$を満たす複素数$z\text{，}$$w$を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(2)　関数$f(x)=x^4-8x^2+16$$-4\sqrt{4-x^2}$の最大値と最小値を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(3)　ある正の整数を$5$進法で表すと$2$桁の数${ab}_{(5)}$となり，$7$進法で表すと$2$桁の数${ba}_{(7)}$となる．この整数を$10$進法で表せ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(4)　数直線上の原点に点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君の$2$人がジャンケンを行い，$\mathrm{B}$君が勝ったときは$\mathrm{P}$を数直線の負の方向に$1$だけ移動する．また，あいこのときと$\mathrm{A}$君が勝ったときは$\mathrm{P}$を数直線の正の方向に$1$だけ移動する．ジャンケンを$10$回行った直後に$\mathrm{P}$が数直線上の$4$の位置にある確率を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(5)　$x$についての方程式${\displaystyle {\int }_x^{\frac{\pi }{2}}}\sin \theta \mathit{d\theta }=2{\displaystyle {\int }_0^x}\cos 2\theta \mathit{d\theta }$を$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲で解け．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(6)　初項$1\text{，}$公差$2$である等差数列$\{a_n\}$について和${\displaystyle \sum _{n=1}^{2025}}{\displaystyle \frac{1}{a_n{a}_{n-1}}}$の値を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(7)　$\sqrt{9-3\sqrt{2}-3\sqrt{3}+3\sqrt{6}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}$を満たす正の有理数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$$\text{（}a>b\text{）}$を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(8)　$e$を自然対数の底とする．原点$\mathrm{O}(0,0)$から曲線$y={\displaystyle \frac{e^{x^2}}{x}}$に引いた接線の方程式を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(9)　$\mathrm{▵ABC}$の内接円と辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$との接点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．辺の長さが$\mathrm{AB}=15\text{，}$$\mathrm{BC}=14\text{，}$$\mathrm{CA}=13$であるとき，$\mathrm{▵PQR}$の面積を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(10)　関数$f(t)=3t|t-2|$の$x\leqq t\leqq x+2$における最小値を$g(x)$とする．関数$y=g(x)$を求め，そのグラフを$xy$平面上に描け．

【２】　$e$を自然対数の底とする．関数$f(x)={\log }_e(x^2-x+1)$について，以下の問いに答えよ．

(1)　方程式$f(x)=0$を解け．

(2)　関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，および変曲点を調べ，そのグラフの概形を描け．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．