2025　会津大学　推薦MathJax

【１】　以下の空欄をうめよ．

(1)　$\cos 75\mathrm{°}+\cos 15\mathrm{°}$の値を求めると$\text{イ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(2)　$a_1=7\text{，}$$a_{n+1}=9a_n+8$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めると$a_n=\text{ロ}$である．また，この数列の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めると$S_n=\text{ハ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(3)　$90321$と$36179$の最大公約数は$\text{ニ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(4)　$x\text{，}$$y$の方程式$x^2+y^2$$-6ax$$+12ay$$+46a^2$$+a$$-6=0$が円を表すとき，定数$a$の値の範囲は$\text{ホ}$である．また，$a$がこの範囲にあるとき，円の半径の最大値は$\text{ヘ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(5)　$3^m<5^{10}<3^{m+1}$を満たす自然数$m$は$\text{ト}$である．ただし，${\log }_{10}3=0.4771\text{，}$${\log }_{10}5=0.6990$とする．

【２】　$1$つの袋に赤玉が$1$つ，青玉が$1$つ，黒玉が$1$つ，白玉が$3$つ入っている．このとき，以下の試行を行う．

・$1$回目の試行：袋から$2$つの玉を同時に取り出す．取り出した玉は袋に戻さない．

・$2$回目の試行：さらに袋から$2$つの玉を同時に取り出す．

以下の空欄をうめよ．

(1)　$1$回目の試行で$2$色の玉を取り出す確率は$\text{イ}$である．

(2)　$1$回目の試行で取り出した玉の中に赤玉が入っている確率は$\text{ロ}$である．

(3)　$1$回目の試行で取り出した玉の中に赤玉が入っていたときに，$2$回目の試行で青玉を取り出す確率は$\text{ハ}$である．

【３】　$3$次関数$y=x^3$$-3x^2$$+2x-3$のグラフを$C$とするとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$C$上の点$(a,a^3-3a^2+2a-3)$における接線の方程式は$\text{イ}$である．

(2)　$C$の接線のうち点$\mathrm{P}(3,-5)$を通るものについて，$C$との接点を$x$座標の小さいものから順に$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{Q}$の座標は$\text{ロ}$であり，$\mathrm{R}$の座標は$\text{ハ}$である．

(3)　$C$と線分$\mathrm{QR}$で囲まれた部分の面積は$\text{ニ}$である．

【４】　平面上に$\mathrm{▵OAB}$がある．辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$\mathrm{OR}:\mathrm{RQ}=t:(1-t)$とおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$t$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\text{イ}$である．

(2)　$\mathrm{PR}:\mathrm{PB}=s:(1-s)$とおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$s$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\text{ロ}$である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\text{ハ}$である．

(4)　辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$の長さが$1$であり，$\cos \mathrm{\angle AOB}={\displaystyle \frac{5}{6}}$のとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|=\text{ニ}$である．