2025　会津大学　前期MathJax

【１】　以下の空欄をうめよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_{-\frac{2}{3}}^{\pi -\frac{2}{3}}}\sin (3x+2)\mathit{dx}$を求めると$\text{イ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_1^{e^2}}\sqrt{x}\log \sqrt{x}\mathit{dx}$を求めると$\text{ロ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(3)　を求めると$\text{ハ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(4)　$\log ({\log }_{x}5)$を微分すると$\text{ニ}$である．ただし，$x>1$とする．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(5)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，関数$y=3{\cos }^2\theta$$-2\cos \theta \sin \theta$$+{\sin }^2\theta$の最大値は$\text{ホ}$であり，最小値は$\text{ヘ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(6)　${(i-1)}^{30}$を計算すると$\text{ト}$である．ただし，$i$は虚数単位である．

【２】　数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項までの和$S_n$が

$S_n=2a_n$$-2^n+1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

であるとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$a_1=\text{イ}$である．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$の式で表すと，$a_{n+1}=\text{ロ}$である．

(3)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{2^n}}$とおく．数列$\{b_n\}$の一般項を求めると，$b_n=\text{ハ}$である．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k$を$n$の式で表すと，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k=\text{ニ}$である．

【３】　袋$\mathrm{A}$に$3$枚，袋$\mathrm{B}$に$2$枚，袋$\mathrm{C}$に$3$枚のカードが入っている．それぞれのカードには数字が$1$つ書いてあり，袋$\mathrm{A}$内のカードの数字は$1\text{，}$$2\text{，}$$3$であり，袋$\mathrm{B}$内のカードの数字は$2\text{，}$$3$であり，袋$\mathrm{C}$内のカードの数字は$3\text{，}$$4\text{，}$$5$である．

　最初に袋$\mathrm{A}$から$1$枚のカードを取り出し，数字を調べてから袋$\mathrm{B}$に入れる．次に，袋$\mathrm{B}$から$1$枚のカードを取り出し，数字を調べてから袋$\mathrm{C}$に入れる．最後に，袋$\mathrm{C}$から$1$枚のカードを取り出す．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　上の操作で，袋$\mathrm{B}$から取り出したカードの数字が$3$である確率を求めよ．$\text{イ}$

(2)　上の操作で，袋$\mathrm{C}$から取り出したカードの数字が$3$である確率を求めよ．$\text{ロ}$

(3)　上の操作で，$3$つの袋から取り出したカードの数字の合計が$6$になる確率を求めよ．$\text{ハ}$

(4)　上の操作で，$3$つの袋から取り出したカードの数字の合計が偶数であったときに，取り出したカードの数字の合計が$6$になる確率を求めよ．$\text{ニ}$

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{LM}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{LM}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，

$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\sqrt{2}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3$

であるとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{LM}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{LM}}=\text{イ}$である．また，$\left|\overrightarrow{\mathrm{LM}}\right|$の値を求めると$\left|\overrightarrow{\mathrm{LM}}\right|=\text{ロ}$である．

(2)　点$\mathrm{H}$が線分$\mathrm{LM}$を$t:1-t$に内分するとき，$t=\text{ハ}$である．

(3)　線分$\mathrm{HC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\text{ニ}$である．さらに$u$を$0<u<1$を満たす実数として，線分$\mathrm{OC}$を$u:1-u$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$が，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る平面上にあるとき，$u=\text{ホ}$である．

【５】　次の関数$f(x)$を考える．

$f(x)=\sqrt{x^2+1}$$+{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{x^2+1}}}$

曲線$y=f(x)$を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，座標平面上に$C$の概形をかけ．漸近線は求めなくてよい．（結論に至る過程も記述すること．）

(2)　 $f(x)$の最小値を$a$とし，直線$y=a$を$l$とするとき，$C$と$l$で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【６】　$e$を自然対数の底とする．すべての自然数$n$に対して，

$a_n=n!e-{\displaystyle {\int }_0^1}{x}^n{e}^{1-x}\mathit{dx}$

が整数であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．