2025　秋田県立大学　前期MathJax

【１】　以下の設問(1)〜(3)に答えよ．ただし，すべて答えのみでよい．

(1)　方程式$x^{{\log }_{2}x}={\displaystyle \frac{4}{x}}$を満たす$x$をすべて求めよ．

【１】　以下の設問(1)〜(3)に答えよ．ただし，すべて答えのみでよい．

(2)　$i$を虚数単位とし，$x$を実数として，複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(1+i)\text{，}$$\mathrm{B}(3+2i)\text{，}$$\mathrm{C}(x+3i)$を考える．$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が一直線上にあるとき，$x$の値を求めよ．

【１】　以下の設問(1)〜(3)に答えよ．ただし，すべて答えのみでよい．

(3)　次の無限等比数列$\{a_n\}$について，公比$r$を求めよ．また，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の和を求めよ．

$1-2\sqrt{2},5-3\sqrt{2},11-8\sqrt{2},\cdots$

【２】　二つの関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める．

$f(x)=x^2+2x+a$

$g(x)=x^2-2mx+m^2+1$

ここで，$a$と$m$は実数の定数とする．このとき，以下の設問(1)～(4)に答えよ．ただし，設問(1)は答えのみでよい．

(1)　$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの頂点をそれぞれ求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフと直線$y=4x+2$が接するとき，$a$の値を求めよ．

(3)　設問(2)で求めた$a$に対し，$y=g(x)$のグラフを$x$軸方向に$3\text{，}$$y$軸方向に$1$だけ平行移動すると，$y=f(x)$のグラフに重なるとする．このときの$m$の値を求めよ．

(4)　$m\geqq 0$のとき，$0\leqq x\leqq 1$における関数$g(x)$の最小値と，最小値をとるときの$x$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^2+x\cos x$を考える．曲線$y=f(x)$を$C$とする．曲線$C$の接線で原点を通るものを$l$とし，曲線$C$と直線$l$の接点の$x$座標を$a$とする．ただし，$0<a<\pi$とする．以下の設問(1)〜(4)に答えよ．ただし，設問(1)は答えのみでよい．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$a$の値を求めよ．

(3)　設問(2)で求めた$a$に対し，関数$g(x)=a$$-x$$-\cos x$を考える．$0\leqq x\leqq a$のとき，関数$g(x)$の最小値と，最小値をとるときの$x$の値を求めよ．

(4)　設問(2)で求めた$a$に対し，$0\leqq x\leqq a$の範囲において，曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】　空間上の$3$点$\mathrm{A}(2,4,0)\text{，}$$\mathrm{B}(2,1,-3)\text{，}$$\mathrm{C}(-1,1,0)$について，以下の設問(1)～(4)に答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$が正三角形であることを示せ．

(2)　四角形$\mathrm{ABCD}$が平行四辺形であるとき，点$\mathrm{D}$の座標を示せ．ただし，点$\mathrm{D}$は$\mathrm{▵ABC}$の辺$\mathrm{AC}$側にあるものとする．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の重心の座標を示せ．

(4)　四面体$\mathrm{ABCE}$が正四面体であるとき，点$\mathrm{E}$の座標を示せ．ただし，点$\mathrm{E}$の$z$座標は正の値とする．