2025　宮城大学　後期MathJax

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問１　次の連立不等式を解け．

$\{\begin{array}{l}-5x+12\leqq 3x+5\\ |1-x|<{\displaystyle \frac{1}{7}}\end{array}$

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問２　不等式$4^x+20\cdot 2^{x-2}-6\leqq 0$を解け．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問３　$3^{{\log }_{9}64}$の値を求めよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問４　$\cos {\displaystyle \frac{19}{12}}\pi$の値を求めよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問５　円$x^2+y^2+ax-by+1=0$の半径が$1$であるとき，$a\text{，}$$b$の満たす条件を求めよ．

【２】　$a$は正の実数とする．関数$f(x)=x(x-2a)\text{，}$$g(x)=ax$のそれぞれのグラフを曲線$C\text{：}y=f(x)\text{，}$直線$l\text{：}y=g(x)$とする．次の問に答えよ．

(1)　曲線$C$の軸の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　関数$f(x)$の最小値を$a$を用いて表せ．

(3)　曲線$C$と直線$l$の交点で原点$\mathrm{O}$でない方の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(4)　曲線$C\text{，}$直線$l\text{，}$および曲線$C$の軸で囲まれる図形のうち，原点$\mathrm{O}$を含む方の図形の面積$S_1$を求めよ．

(5)　曲線$C\text{，}$直線$l\text{，}$および曲線$C$の軸で囲まれる図形のうち，(3)の点$\mathrm{P}$を含む方の図形の面積$S_2$を求めよ．

(6)　曲線$C\text{，}$(3)の点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線，および$x$軸で囲まれた図形の面積$S_3$を求めよ．

【３】　次の問に答えよ．

(1)　任意の自然数$d$に対して，$(d+1)(d+2)$が$2$で割り切れることを証明せよ．

(2)　任意の自然数$d$に対して，$(d+1)(d+2)(2d+3)$が$6$で割り切れることを証明せよ．

【４】　数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$が，

$a_n=\cos {\displaystyle \frac{n\pi }{2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_1=1\text{，}$$b_{\mathrm{n}+1}=a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．次の問に答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$の値を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の初項から第$2025$項までの和${\displaystyle \sum _{k=1}^{2025}}{a}_k$を求めよ．

(3)　${a_n}^2+{b_n}^2$の値を求めよ．

(4)　自然数$m\text{，}$$n$に対して，$a_m{a}_n-b_m{b}_n$を$m\text{，}$$n$を用いて表せ．

【５】　$\mathrm{O}$を原点とする平面上の$2$点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$|3\overrightarrow{\mathrm{OP}}+2\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=1\text{，}$$|5\overrightarrow{\mathrm{OP}}+4\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=1$を満たしながら動く．$\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{\mathrm{OP}}+2\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=5\overrightarrow{\mathrm{OP}}+4\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$とおく．次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が$0$のとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，${|2\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|}^2$を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-2\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$を求めよ．

(4)　$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-2\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$の最大値と最小値を求めよ．

【６】　次の問題を解答するにあたっては，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

　ある製品の不良率は従来$20\mathrm{\%}$であったが，不良率が低くなるように製品の製造方法を改良した．この方法で製造した製品から無作為に$100$個を抽出したところ，$9$個が不良であった．この改良によって不良率が下がったと判断してよいかを，有意水準$0.5\mathrm{\%}$で検定したい．

　この方法で製造した製品の不良率を$p$とする．改良によって不良率が下がったなら，$p<0.2$である．ここで

「改良によって不良率が下がらなかった」，すなわち$\text{「}p=0.2\text{」}$

という仮説を立てる．次の問に答えよ．

(1)　この仮説が正しいとすると，$100$個のうち不良である製品の個数$X$は，二項分布$B(100,0.2)$に従う．$X$の期待値$m$と標準偏差$\sigma$を求めよ．

(2)　この仮説が正しいとすると，確率変数$Z={\displaystyle \frac{X-m}{\sigma }}$は近似的に標準正規分布$N(0,1)$に従う．この標本における$Z$の値を求めよ．

(3)　この仮説に対する有意水準$0.5\mathrm{\%}$の棄却城を求めよ．

(4)　この標本と(1)，(2)，(3)から，改良によって製品の不良率が下がったと判断してよいか述べよ．