2025　宮城大学　前期MathJax

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問１　$2$以上の異なる偶数$a\text{，}$$b$と，$3$以上の異なる奇数$p\text{，}$$q$からなる整数$p^a\times q^b$で最小のものを求めよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問２　${\displaystyle \frac{1}{{\log }_{2}36}}+{\displaystyle \frac{1}{{\log }_{3}36}}$の値を対数を用いずに表せ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問３　$0\leqq \theta <2\pi$の範囲で，$-{\displaystyle \frac{1}{2}}<\cos \theta \leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問４　$a+b+c=5\text{，}$$ab+bc$$+ca=-1$のとき，$a^2+b^2+c^2$の値を求めよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問５　等式$f(x)=3x^2$$+({\displaystyle {\int }_0^2}f(t)\mathit{dt})x$$+({\displaystyle {\int }_0^1}f(t)\mathit{dt})$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

【２】　変量$x$の大きさ$n$のデータ$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$の平均値を$\bar{x}\text{，}$標準偏差を$s_x$$\text{（}{s}_x\ne 0\text{）}$とする．関係式$z={\displaystyle \frac{x-\bar{x}}{s_x}}$によって定まる新しい変量$z$のデータ$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$z_n$を考える．次の問に答えよ．

(1)　変量$z$の平均値$\bar{z}$を求めよ．

(2)　変量$z$の標準偏差$s_z$を求めよ．

(3)　変量$x\text{，}$$z$からなるデータとして，$n$個の値の組$(x_1,z_1)\text{，}$$(x_2,z_2)\text{，}$$\cdots \text{，}$$(x_n,z_n)$を考える．$x\text{，}$$z$の共分散$s_{xz}$の定義式を述べよ．

(4)　変量$x$と$z$の相関係数$r$を求めよ．

【３】　$a$を正の定数とするとき，$0\leqq x\leqq a$における関数$f(x)={(a-x)}^2\text{，}$$g(x)=xf(x)$に対して，次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減表と$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　関数$g(x)$の増減表と$y=g(x)$のグラフをかけ．

(3)　関数$g(x)$の最大値を求めよ．

【４】　自然数が記された$1$辺の長さが$1$の正方形のタイルを用意する．はじめに，自然数$1$が記されたタイルを置く．このとき出来た正方形を$G_1$とする．自然数$1$のタイルの左側に自然数$2$が記されタイルを置き，その後$G_1$を囲むように時計回りに自然数$3$から$9$のタイルを数の小さい順に置き，出来た正方形を$G_2$とする．

　以下，同様に自然数$n\geqq 2$に対して，正方形$G_{n-1}$が出来たとき，最後に置かれたタイルの左側に次の自然数が記されたタイルを置く．その後，$G_{n-1}$を囲むように時計回りにタイルに記された自然数の小さい順にタイルを置いていき，次に出来た正方形を$G_n$とする．次の問に答えよ．

(1)　$G_n$の$1$辺の長さを$n$を用いて表せ．

(2)　$G_n$の$1$辺の長さが$7$であるときの$n$の値を求めよ．

(3)　$G_n$に含まれるタイルの総数を$n$を用いて表せ．

(4)　自然数$10000$が記されたタイルを初めて含む$G_n$の$n$の値を求めよ．

(5)　$G_n$に含まれるタイルに記されている自然数の総和を$n$を用いて表せ．

【５】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．辺$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{OP}$の長さを$t$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{e}$とおき，次の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{e}\text{，}$$\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{e}$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$\mathrm{DE}=\mathrm{DP}$となる$t$の値を求めよ．

(3)　(2)のとき，$\mathrm{▵EDP}$の面積$S$を求めよ．

【６】　次の問題を解答するにあたっては，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

　ある1 枚のコインを100 回投げたところ，表が46 回出た．この事象から，このコインは表と裏の出やすさに偏りがあると判断してよいかを，有意水準$5\mathrm{\%}$で検定したい．今，表が出る確率を$p$とする．表と裏の出やすさに偏りがあるなら．$p\ne 0.5$である．ここで，

「表と裏の出やすさに偏りがない」，すなわち$\text{「}p=0.5\text{」}$

という仮説を立てる．次の問に答えよ．

(1)　この仮説が正しいとすると，$100$回のうち表が出る回数$X$は，二項分布$B(100,0.5)$に従う．$X$の期待値$m$と標準偏差$\sigma$を求めよ．

(2)　この仮説が正しいとすると．確率変数$Z={\displaystyle \frac{X-m}{\sigma }}$は近似的に標準正規分布$N(0,1)$に従う．この事象における$Z$の値を求めよ．

(3)　この仮説に対する有意水準$5\mathrm{\%}$の棄却域を求めよ．

(4)　この事象と(1)，(2)，(3)から，コインの表と裏の出やすさに偏りがあると判断してよいか述べよ．