2025　岩手県立大学　中期MathJax

【１】　$12$人から$2$人ずつの$n$組$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{）}$を選び出す場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えなさい．

[問１]　$a_1$と$a_2$を，それぞれ求めなさい．

[問２]　$a_n$を$n$を用いた式で表しなさい．

[問３]　${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}>1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{）}$を満たす$n$をすべて求めなさい．

[問４]　$a_n$を最大にする$n$をすべて求めなさい．

【２】　座標平面上で$\overrightarrow{0}$でない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$について，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が平行でない場合を考える．座標平面上のベクトル$\overrightarrow{p}$を実数$s\text{，}$$t$を用いて$\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と表す．このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$\overrightarrow{a}=(3,4)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(4,3)$とする．このとき，次の設問に答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を答えなさい．

(2)　$\overrightarrow{p}=(2,2)$としたとき，$\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$となる実数$s\text{，}$$t$を，それぞれ答えなさい．

(3)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}=10\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{p}=11$となるベクトル$\overrightarrow{p}$を成分で表しなさい．

[問２]　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=d\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}=e\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{p}=f$とし，$\left|\overrightarrow{a}\right|=g\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=h$とする．このとき，次の設問に答えなさい．

(1)　$(s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{a}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$e$を用いずに答えなさい．

(2)　$d=0\text{，}$$e=2\text{，}$$f=-1\text{，}$$g=2\text{，}$$h=1$のとき，$\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$となる実数$s\text{，}$$t$を，それぞれ答えなさい．

(3)　$\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$となる実数$s\text{，}$$t$のそれぞれを，$d\text{，}$$e\text{，}$$f\text{，}$$g\text{，}$$h$を用いて答えなさい．

【３】　媒介変数$\theta$を用いて，

$\{\begin{array}{l}x=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\cos \theta +\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}\sin \theta +1\\ y=\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}\cos \theta -\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\sin \theta +3\end{array}$$\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$

と表される曲線について，以下の問いに答えなさい．

[問１]　${(x-1)}^2+{(y-\sqrt{3})}^2$の値は$\theta$に関係なく一定であることを示しなさい．

[問２]　$x=0$となる$\theta$の値をすべて求めなさい．

[問３]　直線$y=mx$と点$(1,\sqrt{3})$の距離が$\sqrt{2}$以下になる実数$m$の値の範囲を求めなさい．ただし，$\theta$が[問２]の値となるときを除く．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上の，次の円$C_0$と$2$つの曲線$C_1\text{，}$$C_2$について，以下の問いに答えなさい．

$C_0\text{：}{x}^2+y^2=4$

$C_1\text{：}y=x^2-2$

$C_2\text{：}y=x^3-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2-x-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

[問１]　$C_0$と$C_1$の共有点をすべて答えなさい．

[問２]　$x>0$における$C_0$と$C_1$の共有点を点$\mathrm{A}$とするとき，直線$\mathrm{OA}$の方程式を答えなさい．

[問３]　$C_1$と$C_2$の共有点をすべて答えなさい．

[問４]　次の連立不等式の表す領域の面積を答えなさい．

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\leqq 4\\ y\geqq x^2-2\\ y\geqq x^3-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2-x-{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$