2025　岩手県立大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　$0\leqq x<2\pi$のとき，$\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$を満たす$x$をすべて求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問２]　$x$についての多項式$f(x)$を$x^2-3x+2$で割った余りが$x+1$であり，$x^2-2x-3$で割った余りが$2x+3$である．$f(x)$を$x^2-5x+6$で割ったときの余りを求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問３]　二進法で表された${10101.011}_{(2)}$を八進法と十進法で，それぞれ表しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問４]　正の整数$N$を$m$進法で表すと${121}_{(m)}\text{，}$$n$進法で表すと${144}_{(n)}$となる．これが成り立つ最小の$m$を十進法で答えなさい．また，このときの$N$を十進法で表しなさい．ただし，$m$と$n$は正の整数である．

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問５]　$x>0$のとき，${\displaystyle \frac{x+2}{x^2+2x+16}}$の最大値を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　$1$から$100$までの自然数のうち，$3$で割ると$2$余る数の集合を$A\text{，}$$4$で割ると$1$余る数の集合を$B$とする．次の設問に答えなさい．

(1)　$A\cap B$に属する要素の個数を答えなさい．

(2)　$A\cap B$に属する数の総和を答えなさい．

(3)　$A\cup B$に属する数の総和を答えなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

[問２]　次の式で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

$a_1=1$

$a_{n+1}=a_n+2^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【２】　以下の問いに答えなさい．

[問３]　数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^3$$+3n^2+5n$で与えられるとき，$b_n$は常に$3$の倍数かつ奇数であることを示しなさい．

【３】　$xy$平面上の放物線$y=x^2$上を$0<x\leqq 3$の範囲で動く点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{P}$の座標を$(p,p^2)$とする．このとき，放物線上の点$\mathrm{P}$における接線と$y=0\text{，}$$x=3$で囲まれた領域の面積を$S$とする．以下の問いに答えなさい．

[問１]　点$\mathrm{P}$における接線の方程式を$p$を用いて表しなさい．

[問２}　$S$を$p$を用いて表しなさい．

[問３]　$S$の最大値と，そのときの$p$の値を，それぞれ答えなさい．

[問４]　放物線の接線と$2$本の直線$y=0\text{，}$$x=3$で囲まれた三角形に外接する円の中心の座標を$p$を用いて表しなさい．

【４】　次の関数$f(x)$について，以下の問いに答えなさい．

$f(x)=2x{e}^{-x}$

ただし，正の整数$n$に対して$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^n{e}^{-x}=0$であることを用いてよい．

[問1]　$f(x)$の第$1$次導関数$f^{\prime }(x)$と第$2$次導関数$f^{″}(x)$を，それぞれ求めなさい．

[問２]　曲線$y=f(x)$の極値および変曲点を，それぞれ求めなさい．

[問３]　点$(0,k)$から曲線$y=f(x)$に異なる$3$本の接線が引けるような$k$の値の範囲を求めなさい．

[問４]　曲線$y=f(x)$上の点$(-2,-4e^2)$における接線と，曲線$y=f(x)$および$y$軸で囲まれた領域の面積を求めなさい．