2025　青森公立大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

問題１　$0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}$とする．$\tan \theta =3$のとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問題２　以下の式を満たす自然数の組$(x,y)$の個数を求めよ．

$5x+4y=2000$

【１】　次の問いに答えよ．

問題３　以下の表は，$2$つの変量$x\text{，}$$y$のデータである．このとき，$x$と$y$の相関係数を求めよ．

【２】　ある工場で機械$\mathrm{A}\text{，}$機械$\mathrm{B}\text{，}$機械$\mathrm{C}$の$3$つの機械で同じ製品を生産している．機械$\mathrm{A}$で不良品が発生する確率は$4\mathrm{\%}\text{，}$機械$\mathrm{B}$で不良品が発生する確率は$7\mathrm{\%}\text{，}$機械$\mathrm{C}$で不良品が発生する確率は$5\mathrm{\%}$とする．製品全体の$40\mathrm{\%}$を機械$\mathrm{A}$で生産し，$30\mathrm{\%}$ずつを機械$\mathrm{B}$と機械$\mathrm{C}$で生産する．

問題１　製品の中から$1$個取り出したとき，それが不良品である確率を求めよ．

問題２　製品の中から取り出した$1$個が不良品であったとき，それが機械$\mathrm{A}$で生産した製品である条件付き確率を求めよ．

【３】　$a$を定数として，以下の$2$次関数

$y=-x^2+2ax+2x-6a+2$

を考える．

問題１　この$2$次関数と$x$軸が$2$つの共有点をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．

問題２　この$2$次関数と$x$軸の$2$つの共有点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．このとき，点$\mathrm{A}$の$x$の値は負，点$\mathrm{B}$の$x$の値は正になるような定数$a$の値の範囲を求めよ．

問題３　この$2$次関数と$x$軸の$2$つの共有点が$2$つとも$3<x<6$にあるような定数$a$の値の範囲を求めよ．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=3\text{，}$$\mathrm{\angle ACB}$は鈍角，外接円の半径$R={\displaystyle \frac{8}{15}}\sqrt{15}$とする．また，右の図のように，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る直線と，点$\mathrm{C}$における外接円の接線の交点を$\mathrm{P}$とする．

問題１　辺$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．

問題２　線分$\mathrm{PA}$の長さを求めよ．