2025　公立はこだて未来大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の曲線$y=4x^2$$-7x+5$と直線$y=5x-3$の$2$つの異なる交点をそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標は点$\mathrm{Q}$の$x$座標より小さいとする．点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る曲線$y=a{x}^2+bx+c$を$C$とし，$C$の点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$における接線をそれぞれ$l_1\text{，}$$l_2$とする．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数とし，$a>0$とする．以下の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．

問２　$b$および$c$を$a$を用いてそれぞれ表せ．

問３　接線$l_1$と$l_2$の交点の座標を$a$を用いて表せ．

問４　曲線$C$および$2$つの接線$l_1\text{，}$$l_2$に囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数，$c>0$とする．$f\text{，}$$g\text{，}$$h$をそれぞれ

$f=x^2-2ax+1$

$g=x^2+ax+y^2+by+c$

$h=x^2+2xy+2y^2-2ax-2y+2b+3$

とする．$xy$平面において，$f\text{，}$$g\text{，}$$h$の最小値をそれぞれ$f_0\text{，}$$g_0\text{，}$$h_0$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$f_0$およびそれを与える$x$を$a$を用いてそれぞれ表せ．

問２　$g_0$およびそれを与える$x\text{，}$$y$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いてそれぞれ表せ．

問３　$g_0\geqq 0$となる領域を$ab$平面上に図示せよ．

問４　$h_0$およびそれを与える$x\text{，}$$y$を$a\text{，}$$b$を用いてそれぞれ表せ．

問５　$g_0\geqq 0$かつ$h_0\leqq 0$を満たす点$(a,b)$が存在するとき，$c$の最小値を求めよ．

【１】　$k$は実数とする．$xyz$空間において点$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},3,{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}$点$\mathrm{B}(2\sqrt{3},1,2)\text{，}$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$点$\mathrm{P}(\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{k^2}{2}},k+3,1+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{k}^2)$とする．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{ABO}$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{\angle AOB}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

問２　$\mathrm{▵ABO}$の面積を求めよ．

問３　点$\mathrm{Q}$の座標を$k$を用いて表せ．

問４　点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{▵ABO}$の内部または周に存在するとき，四面体$\mathrm{ABOP}$の体積の最小値およびそのときの$k$の値をそれぞれ求めよ．

【２】　$0<a<1$とし，$n$は自然数とする．正方形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点を$\mathrm{O}$とする．正方形$\mathrm{ABCD}$の頂点を移動する点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は$1$秒ごとに，隣りあう$2$頂点のいずれかにそれぞれ確率${\displaystyle \frac{a}{4}}$で移動するか，点$\mathrm{O}$に関して対称な頂点に確率${\displaystyle \frac{a}{2}}$で移動するか，確率$1-a$で移動しない．最初，頂点$\mathrm{A}$にいた点$\mathrm{P}$が，$n$秒後に頂点$\mathrm{A}$にいる確率を$p_n\text{，}$頂点$\mathrm{C}$にいる確率を$q_n$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$p_1\text{，}$$q_1\text{，}$$p_2\text{，}$$q_2$を$a$を用いてそれぞれ表せ．

問２　$p_{n+1}$および$q_{n+1}$を$p_n\text{，}$$q_n\text{，}$$a$を用いてそれぞれ表せ．

問３　$p_n-q_n$を$a$と$n$を用いた多項式として求めよ．

問４　$x_n=p_n+q_n$とおく．$x_{n+1}$を$x_n$と$a$を用いて表せ．さらに，$p_n$を$a$と$n$を用いた多項式として求めよ．

【１】　$i$を虚数単位とし，$u\text{，}$$v$は実数とする．また，$a$と$b$は正の実数とする．複素数$w=u+iv$に対して，$w^2$の実部を$x$座標，虚部を$y$座標とする$xy$平面上の点を$\mathrm{P}$とする．点$w$が$u=a$を満たしながら複素平面上を動くときに点$\mathrm{P}$が描く曲線を$C_1$とする．同様に，点$w$が$v=b$を満たしながら動くときに点$\mathrm{P}$が描く曲線を$C_2$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$2$つの曲線$C_1$と$C_2$を同一の$xy$平面上に図示せよ．

問２　曲線$C_1$と$C_2$のすべての交点において，$C_1$と$C_2$の接線が直交することを示せ．

問３　曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$a$および$b$を用いて表せ．

問４　$b={\displaystyle \frac{1}{2a}}$とする．問３で求めた面積の最小値とそのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．

【２】　$xyz$空間において不等式

$\left|x\right|+\left|y\right|\leqq (z+1)e^{-z}\text{，}$$-1\leqq z\leqq 2$

を満たす領域を立体$B$とする．以下の問いに答えよ．

問１　立体$B$を平面$x=0$で切ったときの断面の概形を解答用紙に与えた$zy$平面に図示せよ．

問２　立体$B$を平面$z=t$$\text{（}-1\leqq t\leqq 2\text{）}$で切ったときの断面の面積を$t$を用いて表せ．

問３　立体$B$の体積を求めよ．