2025　公立千歳科学技術大学　中期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　等差数列$\{a_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$が，$a_{20}=1+19\sqrt{2}$および${\displaystyle \sum _{k=1}^{13}}{a}_k=13+78\sqrt{2}$を満たすとき，$a_7$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{{(x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})}^3-{\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)}^3}}$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^{-2x}}}$について，$f^{\prime }(x)$を求めなさい．なお，$e$は自然対数の底である．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　次の不等式を解きなさい．

$|x+2|>\sqrt{(x+2)(x-2)}$

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　$\left[x\right]$は実数$x$について$n\leqq x<n+1$を満たす整数$n$を表す．$f(x)=\left[x\right](x+1)$であるとき，${\displaystyle {\int }_{-3}^{-\frac{5}{2}}}f(x)\mathit{dx}$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(6)　${\displaystyle \frac{2}{3-\sqrt{5}}}$の整数部分を$\alpha \text{，}$小数部分を$\beta$とするとき，${\alpha }^3-{\beta }^3$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(7)　$4$次方程式$3x^4-8x^3-6x^2+24x+a=0$が，異なる二つの実数解をもつための実数$a$の値の範囲を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(8)　実数$x$の関数$f(x)=e^{-a{x}^2}$について，以下の条件をともに満たす実数$x_1$と$x_2$が存在するための実数$a$の値を求めなさい．

$f(x_1)=f(x_2)={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$x_2-x_1=3$

なお，$e$は自然対数の底である．

【２】　座標平面上の$x\geqq 0$の領域において，$y=x^2$$\cdots \text{①}\text{，}$$y=\sqrt{x}\cdots \text{②}\text{，}$$y=-x+a\cdots \text{③}$でそれぞれ定義される曲線および直線があり，$\text{①}$と$\text{③}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$$\text{②}$と$\text{③}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$0\leqq a\leqq 2$であるとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さを最大にする定数$a$の値およびそのときの$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．解答欄には計算過程も書きなさい．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(2,3)\text{，}$$\mathrm{B}(3,2)$について$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，以下の問いに答えなさい．解答欄には計算過程も書きなさい．

(1)　点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る直線上に点$\mathrm{P}$があり，その位置ベクトルを$\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$とおくとき，実数$s$と$t$の間に成り立つ関係を示しなさい．

(2)　座標平面上の$2$点$\mathrm{C}(6,9)$と$\mathrm{D}(12,8)$を結ぶ線分$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{P}$があり，その位置ベクトルを$\overrightarrow{p}=q\overrightarrow{a}+r\overrightarrow{b}$とおくとき，実数$q$と$r$の間に成り立つ関係および$q$と$r$の範囲をそれぞれ示しなさい．

(3)　$\overrightarrow{e}=(-{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})\text{，}$$\overrightarrow{f}=(1,{\displaystyle \frac{1}{2}})$とする．線分$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{P}$があり，その位置ベクトルを$\overrightarrow{p}=u\overrightarrow{e}+v\overrightarrow{f}$とおくとき，実数$u$と$v$の間に成り立つ関係および$u$と$v$の範囲をそれぞれ示しなさい．

【４】　以下の問いに答えなさい．解答欄には計算過程も書きなさい．

(1)　実数$x\text{，}$$y$の間に$y=\sqrt{1-\sqrt{1-x}}$の関係があるとき，$x\text{，}$$y$の取りうる範囲をそれぞれ求めなさい．

(2)　(1)で求めた範囲で関数$f(x)=\sqrt{1-\sqrt{1-x}}$を定義するとき，$y=f(x)$の逆関数$y=f^{-1}(x)$を求めなさい．

(3)　$y=f(x)$のグラフを$xy$平面上にかきなさい．極値および変曲点が存在するときは，その座標をグラフ中に明記しなさい．

【５】　$x$を実数，$i$を虚数単位として複素数$z={\displaystyle \frac{1}{1+xi}}$の実部を$f(x)\text{，}$虚部を$g(x)$とする．座標平面上の曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$について以下の問いに答えなさい．解答欄には計算過程も書きなさい．

(1)　二つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の座標をすべて求めなさい．

(2)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$および$y$軸によって囲まれた領域の面積$S$を求めなさい．