2025　公立千歳科学技術大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　以下の$x$についての二つの方程式のうち，少なくとも一方が実数解をもつための実数$a$の範囲を求めなさい．

$a{x}^2+3x+5=0$$x^2-4x+a^2+3=0$

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　次の連立不等式を解きなさい．

$\{\begin{array}{c}x(x+1)\leqq 6\\ |3x+1|>{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　$x$を実数とするとき，$(x^2+3x+4)(x^2+3x-2)$$+2x^2$$+6x+3$の最小値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\mathit{dx}$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　座標平面上のベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\sqrt{3})$に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{b}$をすべて求めなさい．

【２】　次のように定められる数列を$\{a_n\}$とする．

$a_1=2$

$a_{n+1}=3a_n-n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，$\{a_n\}$の一般項は$a_n={\displaystyle \frac{5\cdot 3^{n-1}+2n+1}{4}}$で与えられることを，数学的帰納法を用いて証明しなさい．

【３】　$u$を実数とするとき，複素数$z={\displaystyle \frac{2ui}{1+ui}}$について以下の問いに答えなさい．なお，$i$は虚数単位である．解答欄には計算過程も書きなさい．

(1)　$z$の実部を$x\text{，}$虚部を$y$とするとき，$x$と$y$をそれぞれ$u$の式で表しなさい．

(2)　点$z$が描く図形を複素数平面上に図示しなさい．

【４】　右の図は，$xy$座標平面において，$x$座標および$y$座標がともに$0$以上の整数である格子点と，隣り合う格子点を結ぶ道を表している．原点$\mathrm{O}$を始点とし，$+x$方向または$+y$方向に格子点を経由して進み，終点$\mathrm{P}$に至る道順が何通りあるかを考える．ここで，点$\mathrm{P}$の座標は$(n,n)$であり，$n$は$2$以上の整数であるとして以下の問いに答えなさい．解答欄には導出過程も書きなさい．

(1)　$0<i<n\text{，}$$0<j<n$を満たす整数$i$と$j$をそれぞれ$x$座標と$y$座標とする点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{Q}$を経由して終点$\mathrm{P}$に至る道順は何通りあるかを，$i\text{，}$$j\text{，}$$n$を用いて表しなさい．

(2)　終点$\mathrm{P}$の座標を$(5,5)$とし，$y\geqq {\displaystyle \frac{x^3}{25}}$を満たす格子点のみを通って，原点$\mathrm{O}$から終点$\mathrm{P}$に至る道順は何通りあるか求めなさい．

【５】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$1$から$12$までの整数の集合を$U$とする．集合$A$と集合$B$は$U$の部分集合で，それぞれ

$A=\{1,3,4,6,8,10\}\text{，}$$B=\{2,3,7,8\}$

であるとき，これを用いてド・モルガンの法則$\bar{A}\cap \bar{B}=\overline{A\cup B}$が成り立っていることを示しなさい．

【５】　以下の問いに答えなさい．

(2)　$i$を虚数単位，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を実数とするとき，二つの複素数$Z_1=a+bi$と$Z_2=c+di$において，$\overline{Z_1\cdot Z_2}=\overline{Z_1}\cdot \overline{Z_2}$であることを示しなさい．なお，$\bar{Z}$は$Z$の共役な複素数を表す．

【５】　以下の問いに答えなさい．

(3)　三角関数の加法定理$\cos (x+y)=\cos x\cos y$$-\sin x\sin y$を用いて，半角の公式${\cos }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}={\displaystyle \frac{1+\cos \theta }{2}}$を導きなさい．