2025　旭川市立大学　後期MathJax

【１】　次の設問に答えよ．

設問１　$(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)-24$を因数分解せよ．

【１】　次の設問に答えよ．

設問２　$|x^2-2|<x+2$を解け．

【１】　次の設問に答えよ．

設問３　$a$を$1$でない正の定数とする．$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=3$のとき，$a^2+a^{-2}$の値を求めよ．

【１】　次の設問に答えよ．

設問４　$k$を正の定数とする．${\displaystyle {\int }_{-k}^k}|x^2-x|\mathit{dx}=1$であるとき$k$の値を求めよ．

【２】　次の設問に答えよ．

設問１　$2$次関数$y=2x^2-4x+6$のグラフを点$\mathrm{A}$に関して対称移動したところ，直線$x=5$を軸として点$(4,-2)$を通る放物線となった．このとき，点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

【２】　次の設問に答えよ．

設問２　$k$が実数全体を変化するとき，放物線$y=-x^2+6kx-8$の頂点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【２】　次の設問に答えよ．

設問３　$t=\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$のとき，$\cos \theta$を$t$で表せ．

【２】　次の設問に答えよ．

設問４　関数$f(x)=x^3$$+4x^2$$+6kx+3$が極値をもつような$k$の範囲を求めよ．

【３】　次の設問に答えよ．

設問１　${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{210}\text{，}$${\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{150}\text{，}$${\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^{90}$の大小を不等号を用いて表せ．

【３】　次の設問に答えよ．

設問２　$4$個の赤玉，$3$個の白玉，$1$個の青玉の合計$8$個の玉を円形に並べるとき，並べ方は何通りあるか．

【３】　次の設問に答えよ．

設問３　次の数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

$2^2,5^2,8^2,{11}^2,{14}^2,\cdots$

【３】　次の設問に答えよ．

設問４　さいころを$60$回投げて，$3$以上の目が出る回数を$X$とする．このとき$X$の標準偏差$\sigma (X)$を求めよ．

【４】　$xy$平面上に放物線$y=x^2$がある．この放物線上の異なる$2$点$\mathrm{A}(\alpha ,{\alpha }^2)\text{，}$$\mathrm{B}(\beta ,{\beta }^2)$（ただし，$\alpha <\beta \text{）}$における接線の交点を$\mathrm{C}$とする．

設問１　点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

設問２　$\mathrm{▵ABC}$の面積$S_1$を求めよ．

設問３　放物線と直線の囲む面積を$S_2$とするとき，面積比$S_1:S_2$を最も簡単な整数比で答えよ．

設問４　$b$を正の定数とする．点$(0,b)$を中心とする円がこの放物線と異なる$2$点で接するための$b$の値の範囲を求めよ．

【５】　係数が実数の$3$次方程式$x^3+s{x}^2-3x+t=0$の$3$つの解を$\alpha =2-i\text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$とする．ただし，$i$は虚数単位とする．

設問１　定数$s\text{，}$$t$の値を求めよ．

設問２　この方程式の解$\beta \text{，}$$\gamma$を求めよ．ただし，$\gamma$は実数解とする．

設問３　${\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3$を求めよ．

設問４　${\alpha }^5+{\beta }^5+{\gamma }^5$ を求めよ．