2025　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　半径が$1$の円に内接する正五角形の面積を$S$とするとき，$S^2$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　空間における$2$点$\mathrm{A}(3,1,1)$と$\mathrm{B}(2,3,-1)$を通る直線に，原点$\mathrm{O}$から垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．このとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　複素数平面上の$2$点$z_1=5+3i\text{，}$$z_2=2\sqrt{3}+(3+\sqrt{3})i$について，点$z_1$をある点$z$を中心に${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$だけ回転したら点$z_2$に重なった．このときの$z$を求めよ．ただし$i$は虚数単位とする．

【２】　平面上に異なる$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，どの$3$点も同一直線上にはない．ただし，直線$\mathrm{OB}$に対して$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}$は反対側にあるものとする．

　いま，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\mathrm{OA}=a\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\mathrm{OB}=b\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\mathrm{OC}=c\text{，}$$\mathrm{AB}=q\text{，}$$\mathrm{BC}=r\text{，}$$\overrightarrow{e}={\displaystyle \frac{1}{b}}\overrightarrow{b}$とする．

　さらに$x=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$y=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}$$z=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}$$w=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする．

(1)　次の$3$つの等式が成り立つことを示せ．

$x=w$

$y=c^2-a^2-w$

$z=a^2-q^2+w$

　今後，三角形$\mathrm{OAB}$と三角形$\mathrm{OBC}$は面積が等しいものとし，以下の設問ではこれが成り立つことを前提とせよ．また，必要に応じて$\overrightarrow{e}$と直交する単位ベクトル$\overrightarrow{f}$を計算に利用せよ．

(2)　$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b}$が平行であることを示せ．

(3)　$\lambda ={\displaystyle \frac{w}{b}}$とするとき，$|\overrightarrow{c}-\lambda \overrightarrow{e}|=a$となることを示せ．

(4)　$y\ne 0$のとき，$b^2$を$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を用いて表せ．

【３】　右図のように$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$の$9$地点と線で描かれた道があり，ある人が地点$\mathrm{O}$にいる．その人は，一回の移動で道に沿って一つ隣の地点へ移動する．ここで，$1$回の移動は，以下の確率に従って行われる．

$\text{①}$　地点$\mathrm{O}$にいる場合，地点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$へ移動する確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{4}}\text{．}$

$\text{②}$　地点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$にいる場合，$2$つ存在する隣の地点へ移動する確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{．}$例えば，地点$\mathrm{A}$にいる場合，地点$\mathrm{E}$に移動する確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$地点$\mathrm{F}$に移動する確率も${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

$\text{③}$　地点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$にいる場合，地点$\mathrm{O}$以外に$2$つ存在する隣の地点へ移動する確率はそれぞれ$p\text{，}$地点$\mathrm{O}$へ移動する確率は$1-2p\text{．}$例えば，地点$\mathrm{F}$にいる場合，地点$\mathrm{A}$に移動する確率は$p\text{，}$地点$\mathrm{B}$に移動する確率も$p\text{，}$地点$\mathrm{O}$に移動する確率は$1-2p$である．ただし$p$は$0<p<{\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたすものとする．

(1)　ちょうど$2$回の移動で地点$\mathrm{A}$または地点$\mathrm{C}$にいる確率を求めよ．

(2)　ちょうど$2$回の移動で地点$\mathrm{O}$に戻る場合，その人が地点$\mathrm{E}$を通過している確率を求めよ．

(3)　ちょうど$4$回の移動で地点$\mathrm{A}$にいる確率を求めよ．

(4)　ちょうど$4$回の移動で地点$\mathrm{A}$にいる場合，その人がそれまでに地点$\mathrm{O}$を通過している確率を求めよ．ただし，最初に地点$\mathrm{O}$からスタートしたことは「地点$\mathrm{O}$を通過した」ことにはならない．

【４】　$a>0$を定数とし，$0\leqq x\leqq \pi$における$2$つの関数

$f(x)=\sin 2x\text{，}$$g(x)=a\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}$

を考える．$2$つの曲線$C_1\text{：}y=f(x)$と$C_2\text{：}y=g(x)$が$(\pi ,0)$以外に$1$点のみを共有するとき，以下の各問に答えよ．

(1)　$0\leqq x<\pi$において$u=\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}$とおく．このとき，${\displaystyle \frac{\sin 2x}{\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}}}$を$u$を用いて表せ．

(2)　$a$の値を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．