2025　琉球大学　後期理学部MathJax

【１】　関数$f(x)$は，${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$-\cos x$$+\sin x+1$を満たすとする．ただし$0<x<2\pi$とする．次の問いに答えよ．

問１　$f(x)$の極値を求めよ．

問２　曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

問１　$\sin 3\theta$を$\sin \theta$を用いて表せ．

問２　等式$\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}=\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$を利用して，$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}$の値を求めよ．

問３　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，曲線$y=\sin 2x\text{，}$$y=\sin 3x\text{，}$直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を，条件$a_1=2\text{，}$$a_2=1\text{，}$$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$によって定める．次の問いに答えよ．

問１　$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5\text{，}$$a_6\text{，}$$a_7\text{，}$$a_8$を$5$で割った余りを求めよ．

問２　すべての$n\geqq 1$に対して，$a_n$を$5$で割った余りと$a_{n+k}$を$5$で割った余りが等しくなるような最小の自然数$k$を求めよ．

問３　$a_{2025}$を$5$で割った余りを求めよ．

【４】　数直線上の$4$点$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$を動く点$\mathrm{P}$が$1$の位置にある．サイコロを投げて，$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の目が出たらその目が表す数字の位置に移動し，$5\text{，}$$6$の目が出たら移動はせず，現在の位置にとどまる．例えば，$1$回目に$3$の目，$2$回目に$5$の目が出たとき，その$2$回目の試行の後，点$\mathrm{P}$は$3$の位置にある．この試行を繰り返し，$n$回目の試行の後に，点$\mathrm{P}$が$1$の位置にある確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．

問１　$p_1$および$p_2$を求めよ．

問２　$p_{n+1}$を$p_n$の式で表せ．

問３　$p_n$の一般項を求めよ．また，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{p}_k$を求めよ．