2025　琉球大学　前期MathJax

【１】　$n$を自然数，$f_n(x)=1+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}$とする．次の問いに答えよ．

問１　$f_2(x)$の導関数を求めよ．

問２　$x\geqq 0$のとき，不等式$e^x\geqq f_1(x)$を示せ．

問３　$x\geqq 0$のとき，すべての自然数$n\geqq 1$に対して不等式$e^x\geqq f_n(x)$を示せ．

問４　$0\leqq x\leqq 1$のとき，すべての自然数$n\geqq 1$に対して不等式$e^x\leqq f_n(x)+{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}$を示せ．

【２】　$a>0$として，$g(a)={\displaystyle {\int }_a^{a+1}}(x-\log x)\mathit{dx}$とする．次の問いに答えよ．

問１　不定積分${\displaystyle \int }\log x\mathit{dx}$を求めよ．

問２　$g(a)$を求めよ．

問３　$g(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$の辺の長さを$\mathrm{OA}=3\text{，}$$\mathrm{OB}=\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{OC}=\sqrt{6}\text{，}$$\mathrm{AB}=2\sqrt{2}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=3\text{．}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=3$とする．次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

問２　点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下ろしその交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

問３　点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろしその交点を$\mathrm{K}$とする．このとき，直線$\mathrm{OH}$と直線$\mathrm{AK}$は交わることを示せ．また，その交点を$\mathrm{M}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【４】　赤玉$3$個と白玉$3$個が入っている袋がある．まず$3$枚のコインを投げ，表が$k$枚出たとき，この袋に赤玉を$k^2$個追加し，次にその袋から玉を$2$個同時に取り出すという試行を行う．例えば，コイン投げで表が$2$枚，裏が$1$枚出たときは，赤玉$4$個を追加して，赤玉$7$個と白玉$3$個が入っている袋から玉を$2$個同時に取り出す．コイン投げで$3$枚とも裏が出たときは，赤玉の追加はなく，赤玉$3$個と白玉$3$個が入っている袋から玉を$2$個同時に取り出す．次の問いに答えよ．

問１　コイン投げで$3$枚とも表でありかつ袋から取り出した玉が$2$個とも赤玉である確率を求めよ．

問２　袋から取り出した玉が$2$個とも赤玉である確率を求めよ．

問３　袋から取り出した玉が$2$個とも赤玉であったとき，コイン投げで$3$枚とも表であったという条件付き確率を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問１　${\displaystyle \frac{1}{37}}$を小数で表したとき，小数第$100$位の数字を求めよ．また${\displaystyle \frac{1}{37}}+{\displaystyle \frac{32}{33}}$を小数で表したとき，小数第$100$位の数字を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問２　$21$の階乗$21!$を素因数分解せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問３　多項式$P(x)$を$x^2-1$で割ったときの余りが$2x\text{，}$$x^2-x-6$で割ったときの余りが$3x+2$である．このとき，$P(x)$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りを求めよ．

【２】　関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$を考える．次の問いに答えよ．

問１　$f(x)$が$x=1$と$x=2$で極値をとるとき，$a$と$b$の値を求めよ．

問２　$a$と$b$を問１で求めた値とする．さらに曲線$y=f(x)$が直線$y=6x-2$に接するとき，$c$の値を求めよ．