2025　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，不等式$\cos 2\theta >\sin \theta$を解け．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を正の実数とする．

$({\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}})(x+y+z)$

のとりうる値の最小値を求めよ．また，最小値をとるときの$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の条件を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　次の$\text{(ア)}\text{，}$$\text{(イ)}$に当てはまるものを，下の選択肢(あ)～(え)のうちから一つずつ選び，その理由を説明せよ．ただし，選択肢については，同じものを繰り返し選んでもよい．

・実数$a\text{，}$$b$について，$\text{「}a+b=2$かつ$a-b=0\text{」}$であることは，$\text{「}(a-1)(b-1)=0\text{」}$であるための$\text{(ア)}\text{．}$

・実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$について，$\text{「}a{x}^2+bx+c=0$を満たす実数$x$が存在する」ことは，$\text{「}a{x}^2+bx+c=0$が$x$についての恒等式である」ための$\text{(イ)}\text{．}$

(あ)　必要条件であるが十分条件ではない

(い)　十分条件であるが必要条件ではない

(う)　必要十分条件である

(え)　必要条件でも十分条件でもない

【２】　次の各問いに答えよ．

(1)　次の方程式を解け．

$3{\log }_8(3x+7)=2{\log }_2(x+1)$

(2)　$x$に関する方程式

${\log }_8(3x+a-2)={\log }_2(x-2)$

が異なる実数解をちょうど$2$つもつとき，実数$a$の値の範囲を求めよ．

【３−１】　初項を$a_1=1\text{，}$$b_1=3$とし，次の条件によって定められる数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を考える．

$a_{n+1}=(1-2\cdot 3^{n-1})a_n$$+3^{n-1}{b}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_{n+1}=-4\cdot 3^{n-1}{a}_n+(2\cdot 3^{n-1}+1)b_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　数列$\{c_n\}$を$c_n=-2a_n+b_n$で定める．このとき，$c_{n+1}=c_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(2)　$d_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき，数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【３-２】　座標空間において，点$(0,0,1)$を中心とする半径$1$の球$S$と，点$(0,0,2)$を通り$z$軸に垂直な平面$\alpha$と，点$\mathrm{F}(0,1,0)$がある．

(1)　点$\mathrm{A}$を球$S$上の点とする．直線$\mathrm{FA}$と平面$\alpha$との交点を${\mathrm{A}}^{\prime }$とする．$\mathrm{A}$の$z$座標が$k$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{F}{\mathrm{A}}^{\prime }}={\displaystyle \frac{2}{k}}\overrightarrow{\mathrm{FA}}$となることを示せ．ただし，$k\ne 0$とする．

(2)　球$S$上に$2$点$\mathrm{B}(-{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$と$\mathrm{C}(1,0,1)$をとる．直線$\mathrm{FB}$と平面$\alpha$との交点を${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$直線$\mathrm{FC}$と平面$\alpha$との交点を${\mathrm{C}}^{\prime }$とする．${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{C}}^{\prime }$の座標を求めよ．

(3)　$2$点${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{C}}^{\prime }$を(2)で定めた点とする．点$\mathrm{P}$は平面$\alpha$上を動き，$\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{B}}^{\prime }}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{C}}^{\prime }}$が垂直になるとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{B}}^{\prime }}\ne \overrightarrow{0}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{C}}^{\prime }}\ne \overrightarrow{0}$とする．

【３-３】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$があるゲームを繰り返し行い，先に$3$回勝った方を優勝とする．第$1$ゲームでは$\mathrm{A}$が先攻とし，それ以降は先攻と後攻を交互に入れかえてゲームを行う．各ゲームでは引き分けはなく，必ず勝敗がつくとする．各ゲームで$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に勝つ確率は，$\mathrm{A}$が先攻のとき${\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$後攻のとき${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

(1)　第$3$ゲームで優勝が決まる確率を求めよ．

(2)　第$5$ゲームで優勝が決まる確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{B}$が優勝する確率を求めよ．

【４】　$3$つの複素数$\alpha =4+3i\text{，}$$\beta =x+i\text{，}$$\gamma =8i$および複素数平面上の対応する点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )$を考える．ただし，$x$は実数で，$i$は虚数単位とする．

(1)　${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$が実数となるような$x$の値を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{AC}$が垂直に交わるような$x$の値を求めよ．

(3)　$x$が実数全体を動くとき，${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$の虚部の最大値および最小値を求めよ．

【５】　$e$を自然対数の底とし，

$f(x)={\displaystyle \frac{e^x-2e^{-2x}}{e^x+e^{-2x}}}$

とおく．座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$(0,-{\displaystyle \frac{1}{2}})$における接線を$l$とする．また，$l$と直線$y=1$との交点を$(a,1)$とする．

(1)　接線$l$の方程式と，$a$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた接線$l$の方程式を$y=g(x)$とおく．$x>0$のとき，$f(x)<g(x)$であることを示せ．

(3)　曲線$C\text{，}$接線$l$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積$S_1$を求めよ．

(4)　実数$r$は$r>a$を満たすとする．曲線$C\text{，}$直線$y=1\text{，}$$x=a$および$x=r$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．(3)で定めた$S_1$を用いて$S(r)=S_1+S_2$と定めるとき，$S(r)$を求めよ．さらに，$\underset{r\to \infty }{\lim }S(r)$を求めよ．

【２−２】　座標平面において，曲線$y={\displaystyle \frac{2}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$を$C$とする．$C$の接線で点$\mathrm{P}(4,0)$を通るものを直線$l$とし，曲線$C$と直線$l$の接点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　直線$l$の方程式および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　曲線$C\text{，}$直線$\mathrm{PQ}$および直線$x=4$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　(2)で定めた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．