2025　宮崎大学　前期MathJax

【１】　次の空欄$\text{あ}\text{〜}$$\text{か}$を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　極限$\underset{x\to 0}{\lim }\{{\displaystyle \frac{1}{x}}({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{x+3}}\left)\right\}$の値は，$\text{あ}$である．

【１】　次の空欄$\text{あ}\text{〜}$$\text{か}$を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{x}}$の導関数は，$f^{\prime }(x)=\text{い}$である．

【１】　次の空欄$\text{あ}\text{〜}$$\text{か}$を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(3)　関数$f(x)=\log (1+\sin x)$の導関数は，$f^{\prime }(x)=\text{う}$である．

【１】　次の空欄$\text{あ}\text{〜}$$\text{か}$を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(4)　不定積分$I={\displaystyle \int }x\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}\mathit{dx}$を求める．三角関数の$2$倍角の公式

$\sin 2\theta =\text{え}\sin \theta \cos \theta$

を用いて計算すると，$I=\text{お}+C$となる．ただし，$C$は積分定数とする．

【１】　次の空欄$\text{あ}\text{〜}$$\text{か}$を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(5)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}2x^3\sqrt{x^2+1}\mathit{dx}$の値は，$\text{か}$である．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{{(1+x)}^2}}$$\text{（}x>-1\text{）}$および座標平面上の曲線$C\text{：}y=f(x)$について，次の各問に答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$および第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　極限$\underset{x\to -1+0}{\lim }f(x)$および$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(3)　関数$f(x)$の増減，極値，曲線$C$の凹凸，変曲点および漸近線を調べて，曲線$C$の概形をかけ．

(4)　曲線$C$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた部分の面積$S$の値を求めよ．

【３】　平面上の点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の周を$T$とする．$T$上の$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を，

$4\overrightarrow{\mathrm{AB}}+5\overrightarrow{\mathrm{AC}}=12\overrightarrow{\mathrm{AO}}$

を満たすようにとる．また，直線$\mathrm{OC}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OC}$と$T$の交点で$\mathrm{C}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{R}$が円周$T$上を動くとき，$\mathrm{▵PQR}$の面積$S$の最大値を求めよ．また，$S$が最大となるときの$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

【４】　実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$についての連立方程式

（＊)　$\{\begin{array}{c}y+z=(x+z)e^{-x}\\ x+z=(y+z)e^{-y}\end{array}$

を考える．次の各問に答えよ．

(1)　$x=y$かつ$z=1$のとき，(＊)を満たす$x$をすべて求めよ．

(2)　$e^x+e^{-x}=4$を満たす$x$をすべて求めよ．

(3)　$x\ne y$のとき，(＊)および$e^x+e^{-x}=4$を満たす$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組をすべて求めよ．

【５】　$1$から$m$までの自然数が$1$つずつ書かれた$m$枚のカードがある．

例：$m=5$の場合$\text{1}$$\text{2}$$\text{3}$$\text{4}$$\text{5}$

$m$枚のカードの中から無作為に$1$枚取り出し，書かれた数を確認した後に元に戻すという操作を$n$回繰り返す．$k$回目$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$に取り出したカードに書かれている数を$N_k$$\text{（}1\leqq N_k\leqq m\text{）}$とする．ただし，どのカードの取り出され方も，同様に確からしいとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$m=2\text{，}$$n=2$のとき，$N_1<N_2$となる確率を求めよ．

(2)　$m=3\text{，}$$n=3$のとき，$N_1\times N_2<N_3$となる確率を求めよ．

(3)　$m=5\text{，}$$n=4$のとき，$N_1\times N_2<N_3\times N_4$となる確率を求めよ．

【４】　$\theta$を媒介変数として，媒介変数表示

$\{\begin{array}{l}x=e^{-\theta }\cos \theta \\ y=e^{-\theta }\sin \theta \end{array}$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

の表す曲線を$C$とする．$C$の概形は右図のようになる．曲線$C$上に点$\mathrm{A}$を，$\mathrm{A}$における$C$の接線が$x$軸と平行となるようにとる．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(2)　$I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{-t}\sin t\mathit{dt}\text{，}$$J={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{-t}\cos t\mathit{dt}$とするとき，

$J-I=e^{-\frac{\pi }{2}}$

が成り立つことを示せ．

(3)　曲線$C$と$x$軸および直線$\mathrm{OA}$で囲まれる部分の面積$S$の値を求めよ．

【５】　次の各問に答えよ．

(1)　すべての自然数$n$に対して，

${}_{n+1}C_k={}_{n}C_k+{}_{n}C_{k-1}$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

が成り立つことを示せ．

(2)　すべての自然数$n$に対して，

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n+1}}{(-1)}^k{}_{n+1}C_k=0$

が成り立つことを示せ．

(3)　すべての自然数$n$に対して，

$1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}$$+\cdots$$+{\displaystyle \frac{1}{n}}$$={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k+1}}{k}}{}_{n}C_k$

が成り立つことを示せ．

【１】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$は，$a_1=1\text{，}$$b_1=2\text{，}$$c_1=p$および

$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=c_n\\ b_{n+1}=-b_n-2c_n\\ c_{n+1}=a_n+b_n+c_n\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとする．ただし，$p$は$0$でない実数とする．また，$f_n(x)$を

$f_n(x)=a_n{x}^2+b_{n}x+c_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$2$次方程式$f_2(x)=0$が重解をもつような$p$の値を求めよ．

(2)　$2$次方程式$f_{2025}(x)=0$が重解をもつような$p$の値を求めよ．

(3)　$p$が(2)で求めた値のとき，$2$次方程式$f_{2025}(x)=0$の解を求めよ．

【２】　$1$枚のコインを$1$回だけ投げ，表が出たら$1$点，裏が出たら$-1$点を獲得するゲームを行う．このゲームを繰り返し行ったときに獲得した点数の合計を考える．ただし，コインの表と裏が出る確率は，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　ゲームを$5$回行ったとき，獲得した点数の合計が$3$点となる確率を求めよ．

(2)　ゲームを$6$回行ったとき，獲得した点数の合計が$2$点以上となる確率を求めよ．

(3)　次のルールを設ける．

(ⅰ)　獲得した点数の合計が$3$点となるまでゲームを繰り返し行う．ただし，ゲームを$8$回行った時点で，次のゲームは行わないとする．

(ⅱ)　獲得した点数の合計が$3$点となった時点で，次のゲームは行わないとする．

このとき，$7$回以上ゲームが行われる確率を求めよ．

【４A】　次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　極限$\underset{x\to 0}{\lim }\{{\displaystyle \frac{1}{x}}({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{x+3}}\left)\right\}$の値を求めよ．

【４A】　次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{x}}$の導関数を求めよ．

【４A】　次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(3)　関数$f(x)=\log (1+\sin x)$の導関数を求めよ．

【４A】　次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(4)　不定積分${\displaystyle \int }{x}^2{e}^{-\frac{1}{2}x}\mathit{dx}$を求めよ．

【４A】　次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(5)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}2x^3\sqrt{x^2+1}\mathit{dx}$の値を求めよ．

【４B】　座標平面上に$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=x^2+m^2$$\text{（}m>0\text{）}$

$C_2\text{：}y=x^2$

がある．曲線$C_2$上の点$\mathrm{P}(t,t^2)$から曲線$C_1$に引いた$2$本の接線における$2$つの接点を，それぞれ$\mathrm{A}(\alpha ,{\alpha }^2+m^2)\text{，}$$\mathrm{B}(\beta ,{\beta }^2+m^2)$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とおく．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\alpha \text{，}$$\beta$のそれぞれを，$t$と$m$を用いて表せ．

(2)　曲線$C_1$と直線$\mathrm{AP}$および直線$x=t$で囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$曲線$C_1$と直線$\mathrm{BP}$および直線$x=t$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$となることを示せ．

【４C】　複素数平面上の点$z$に対して，点$w$を$w={\displaystyle \frac{5z-\bar{z}+6i}{2}}$により定める．ただし，$\bar{z}$は$z$と共役な複素数とし，$i$は虚数単位とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$z={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+i}{2}}$であるとき，$w$が表す複素数を$a+bi$$\text{（}a\text{，}$$b$は実数）の形で表せ．

(2)　$z$を，$w$と$\bar{w}$を用いて表せ．ただし，$\bar{w}$は$w$と共役な複素数とする．

(3)　点$z$が原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の周上を動くとき，点$w$が複素数平面上で描く図形の概形をかけ．

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　不等式$|x+3|\geqq |x-2|$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　座標平面上において，$x$軸と$y$軸および直線$3x+4y=60$でつくられる三角形に内接する円の方程式を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　$1$枚のコインを$1$回だけ投げ，表が出たら$1$点，裏が出たら$-1$点を獲得するゲームを行う．このゲームを$5$回行ったとき，獲得した点数の合計が$3$点となる確率を求めよ．ただし，コインの表と裏が出る確率は，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

【１】　次の各問に答えよ．

(4)　関数

$f(x)=({\log }_{\frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{x}{9}})({\log }_{\frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{9}{x}})$$+{\log }_{\frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{x^2}{81}}$

の${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq x\leqq 9$における最大値，最小値，およびそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

【２】　座標平面上の曲線$C\text{：}y=|x^2+4x+3|$と直線$l\text{：}y=x+k$$\text{（}k$は実数）について，次の各問に答えよ．

(1)　曲線$C$を図示せよ．

(2)　曲線$C$と直線$l$が異なる$3$つの共有点をもつような$k$の値は$2$つある．これら$2$つの$k$の値を求めよ．

(3)　$k$を(2)で求めた値の小さい方とする．このとき，曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分の面積$S$の値を求めよ．