2025　大分大学　推薦知能機械システムプログラムMathJax

【２】

1)　ある関数$f(x)$において，関数$f(x)$の導関数が$f^{\prime }(x)=3x^2-{\displaystyle \frac{12}{x^4}}$であり，$f(1)=0$を満たす．また，関数$g(x)$は$g(x)={\displaystyle \frac{7}{2}}x-{\displaystyle \frac{7}{2}}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$x$は実数であるものとする．

1-1)　$f(x)$を求めよ．

1-2)　$x>0$における$y=f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

1-3)　$x>0$において曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$は点$\mathrm{P}(2,{\displaystyle \frac{7}{2}})$とその他の点$\mathrm{Q}$で交わる．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．また，$x>0$において，点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$以外に交点がないことを示せ．

1-4)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた領域の面積を求めよ．

【２】

2)　右の空間図形において，線分$\mathrm{PA}$は底面$\mathrm{ABCD}$に対して垂直であり，線分$\mathrm{AD}$は線分$\mathrm{DC}$と直交する．また，$\mathrm{PA}=\mathrm{AC}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=1\text{，}$$\mathrm{AD}=t$$\text{（}0<t<2\text{）．}$以下の$2$つの小問に答えよ．

2-1)　$3$つの線分$\mathrm{PC}\text{，}$$\mathrm{PD}\text{，}$$\mathrm{DC}$の長さおよび，$\mathrm{\angle PDC}$の大きさを求めよ．

2-2)　$t=\sqrt{3}$のとき，点$\mathrm{A}$と平面$\mathrm{PCD}$の距離を求めよ．