2025　大分大学　前期MathJax

【１】　正の数$x\text{，}$$y$は，次の不等式を満たすとする．

${({\log }_{2}x)}^2+{({\log }_{2}y)}^2\leqq {\log }_2{\displaystyle \frac{y^2}{2\sqrt{2}{x}^2}}$$\cdots$(＊)

(1)　$X={\log }_{2}x\text{，}$$Y={\log }_{2}y$とおくとき，不等式(＊)を$X$と$Y$で表しなさい．

(2)　(1)で求めた不等式の表す領域を$XY$平面に図示しなさい．

(3)　$xy$の最小値と，そのときの$x$と$y$の値を求めなさい．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$は${\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2=5{\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|}^2$を満たす．$3$点$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$をそれぞれ辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{AB}$の中点とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=s({\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2)$を満たす定数$s$の値を求めなさい．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{BM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CN}}$の値を求めなさい．

(3)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{AL}}\right|}^2=t({\left|\overrightarrow{\mathrm{BM}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{CN}}\right|}^2)$を満たす定数$t$の値を求めなさい．

(4)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$となるとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．

【３】　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんは赤，青，黄，緑の$4$枚のカードが入っている箱をそれぞれ持っている．$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんは同時に$1$枚ずつ各自の箱からカードを無作為に出すゲームを行い，同じ色が出たらゲームを終了する．ただし，$1$度出したカードは箱に戻さない．

　$\mathrm{A}$さんが$k$枚，$\mathrm{B}$さんが$k$枚カードを出した時点でゲームが終了する確率を$P_k$とする．ここで，$k=1\text{，}$$2\text{，}$$3$である．

(1)　確率$P_1$を求めなさい．

(2)　確率$P_2$を求めなさい．

(3)　確率$P_3$を求めなさい．

【４】　自然数$n\text{，}$$k$に対し，$a_k(n)={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\left({\displaystyle \frac{i}{n}}\right)}^k$とおく．

(1)　$a_2(25)$を求めなさい．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^3}{a}_k(5)$を求めなさい．

(3)　$b_k=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_k(n)}{n}}$とおく．$b_k$を$k$を用いて表しなさい．

(4)　(3)で求めた$b_k$について，${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{b}_k{b}_{k+1}$を求めなさい．

【３】　数列$\{a_n\}$は，$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=\{2+{(-1)}^n\}{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たし，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とする．

(1)　$a_{2n}$を$a_{2n-1}$を用いて表しなさい．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$a_{2n}$を$a_{2n-2}$を用いて表しなさい．

(3)　$S_n$を$n$を用いて表しなさい．

【１】　以下の各問に答えなさい．

(1)　不等式$100+15(n-6)\leqq 18n$を満たす最小の自然数$n$を求めなさい．

【１】　以下の各問に答えなさい．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=6\text{，}$$\mathrm{CA}=7$であるとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めなさい．

【１】　以下の各問に答えなさい．

(3)　$1$の$3$乗根のうち，虚数であるものの$1$つを$\omega$とするとき，${\omega }^5+{\omega }^4+3$の値を求めなさい．

【１】　以下の各問に答えなさい．

(4)　$2$直線$y=5x\text{，}$$y={\displaystyle \frac{2}{3}}x$のなす角$\theta$を求めなさい．ただし，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【１】　以下の各問に答えなさい．

(5)　不等式${\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^x\leqq 3^{2x+1}$を解きなさい．