2025　熊本大学　後期理学部MathJax

【１】　平面上の$3$つの点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=5\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=3$および$\mathrm{\angle BAC}=60\mathrm{°}$を満たすとする．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおく．線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}$は$\overrightarrow{\mathrm{AD}}＝{\displaystyle \frac{7}{10}}\overrightarrow{b}$を満たし，線分$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{E}$は$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=k\overrightarrow{c}$$\text{（}0<k<1\text{）}$を満たすとする．$2$つの線分$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．

(問１)　$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$および$k$を用いて表せ．

(問２)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AF}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BF}}\right|$であるとき，$k$の値を求めよ．

(問３)　$k$を(問２)で求めた値とするとき，$\mathrm{▵ABF}$の面積を求めよ．

【２】　$1$枚のコインを$n$回投げ，整数$a_0\text{，}$$a_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$を次のように定める．

　$a_0=0$とし，$k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$のとき，

$a_k=\{\begin{array}{ll}{a}_{k-1}^2& \text{（}k\text{回目に表が出たとき）}\\ a_{k-1}+2& \text{（}k\text{回目に裏が出たとき）}\end{array}$

とする．コインの表と裏が出る確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$とし，$a_n$を$3$で割った余りが，$0$となる確率を$p_n\text{，}$$1$となる確率を$q_n\text{，}$$2$となる確率を$r_n$とする．

(問１)　$p_1\text{，}$$p_2$を求めよ．

(問２)　$p_{n+1}\text{，}$$q_{n+1}$および$r_{n+1}$を，$p_n\text{，}$$q_n$および$r_n$のうち必要なものを用いて表せ．

(問３)　$m=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots$のとき，$p_{2m+1}\text{，}$$q_{2m+1}$および$r_{2m+1}$を$m$の式で表せ．

【３】　$a$を正の実数，$n$を$a$より大きい正の整数とする．$e$は自然対数の底であり，$e>1$である．曲線$y=x(a-x)e^{-x}$を$C$とする．$C$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C$と$x$軸，直線$x=a$および直線$x=n$で囲まれた部分の面積を$I_n$とする．以下，必要ならば$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{n^2}{e^n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{n}{e^n}}=0$を用いてよい．

(問１)　$S_1$を$a$の式で表せ．

(問２)　$I_n$を$a$と$n$の式で表せ．

(問３)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$を$S_2$とする．$S_2$を$a$の式で表せ．

(問４)　(問３)で求めた$S_2$に対して$S_1=S_2$となるとき，$a$の値を求めよ．