2025　熊本大学　前期MathJax

【１】　$n$を正の整数とする．放物線$y=x^2+2x+1$を$C$とし，直線$y=(2n+3)x$を$l$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$C$と$l$の共有点の個数は$2$個であることを示せ．

(問２)　$C$と$l$の共有点の$x$座標を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．ただし$\alpha <\beta$とする．$C\text{，}$$x=\alpha \text{，}$$x=\beta \text{，}$$x$軸で囲まれた図形の面積を$S$とする．${\displaystyle \frac{S}{\beta -\alpha }}$を$n$を用いて表せ．

(問３)　(問２)で求めた数$a_n$をとする．$m\geqq 1$のとき，${\displaystyle \sum _{n=1}^m}{a}_n$を求めよ．

【２】　座標平面上で$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．格子点上を次の規則に従って動く点$\mathrm{P}$を考える．

1．最初に点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にある．

2．ある時刻で点$\mathrm{P}$が格子点$(x,y)$にあるとき，その$1$秒後には$(x+1,y)$または$(x,y+1)$へ動く．

格子点上に$\mathrm{A}(m,0)\text{，}$$\mathrm{B}(m,n)$を取る．ただし，$m\text{，}$$n$は正の整数である．最初から$k$秒後に，端点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を含む線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$が初めて達するまでの$\mathrm{P}$の動き方の総数を$a_k$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$m=3\text{，}$$n=4$のとき，$a_7$を求めよ．

(問２)　$m\leqq k\leqq m+n$に対して$a_k$を求めよ．

(問３)　等式${\displaystyle \sum _{k=m}^{m+n}}{a}_k={}_{m+n}C_m$が成り立つことを示せ．

【３】　$xyz$空間内の平面$\alpha$は$2$点$\mathrm{A}(-1,3,1)\text{，}$$\mathrm{B}(1,5,0)$を通り$x$軸と交わるものとする．$\alpha$と$x$軸の交点を$\mathrm{C}$とする．原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下した垂線$\mathrm{OH}$の長さは$3$とする．ただし，点$\mathrm{H}$の$x$座標，$y$座標，$z$座標はいずれも整数とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(問２)　点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(問３)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

(問４)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【４】　関数$y=|x^2-(a+1)x+a|$のグラフを$C$とし，直線$y=x-a$を$l$とする．ただし，$a\leqq 1$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$C$と$l$の共有点の$x$座標を求めよ．

(問２)　$C$と$l$で囲まれる図形の面積$S(a)$を求めよ．

(問３)　(問２)で求めた$S(a)$の最小値を求めよ．

【１】　次のように定められた複素数の数列$\{z_n\}$を考える．

$z_1=1\text{，}$$z_{n+1}=(1+i)z_n$$+(2+i)\overline{z_n}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ただし，$i$は虚数単位であり，$\overline{z_n}$は$z_n$と共役な複素数である．以下の問いに答えよ．

(問１)　${\alpha }_n=z_n+\overline{z_n}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおくとき，数列$\{{\alpha }_n\}$の一般項を求めよ．

(問２)　${\beta }_n=(2-i)z_n-(2+i)\overline{z_n}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおくとき，数列$\{{\beta }_n\}$の一般項を求めよ．

(問３)　数列$\{z_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　放物線$y=x^2$を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　点$(0,-4)$を通り$C$に接する直線のうち，傾きが正のものを$l_1\text{，}$負のものを$l_2$とする．$C\text{，}$$l_1\text{，}$$l_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

(問２)　$a>0\text{，}$$b<0$とし，直線$l\text{：}y=ax+b$は$C$の接線であるとする．$C\text{，}$$x$軸，$l$で囲まれる部分の面積が(問１)で求めた面積に等しいとする．$a\text{，}$$b$を求めよ．

(問３)　点$(p,q)$に対し，$(p,q)$を通る$2$つの直線$m_1\text{，}$$m_2$が$C$の異なる接線であり，$C\text{，}$$m_1\text{，}$$m_2$で囲まれる部分の面積が(問１)で求めた面積に等しいとする．このような$(p,q)$の軌跡を求めよ．

【３】　実数$a>0$に対し，座標平面の点の集合$X_n$を

$X_a=\{(m,n)|m\text{，}n\text{は}{m}^{2}a+{\displaystyle \frac{n^2}{a}}\leqq 25\text{を満たす正の整数}\}$

で定める．以下の問いに答えよ．

(問１)　$X_1$の要素の個数を求めよ．

(問２)　正の整数$m$に対し，点$(m,1)$はどのような$a>0$に対しても$X_a$に含まれないとする．このような$m$の最小値を求めよ．

(問３)　座標平面の点の集合$X$を

$X=\{(m,n)|\text{ある}a>0\text{に対し}(m,n)\in X\text{となる}\}$

で定める．$X$の要素の個数を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(問１)　$x>0$のとき，不等式$\log (x+3)$$<x+\log 3$を証明せよ．

(問２)　$n$を$2$以上の整数とするとき，不等式

$1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}$$+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}}$$<1+\log n$

を証明せよ．

(問３)　数列$\{a_n\}$を

$a_1=4\text{，}$$a_{n+1}=(3+{\displaystyle \frac{1}{n+1}})a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_n}$の値を求めよ．ただし，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log n}{n}}=0$を用いてよい．

【１】　平面上の$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$について，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=p>0\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right|=q>0\text{，}$$\mathrm{\angle DAB}=\theta$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　不等式${\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|}^2$$+{\left|\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{DA}}\right|}^2$$\geqq {\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{BD}}\right|}^2$を証明せよ．

(問２)　(問１)で等号が成り立つとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$p\text{，}$$q\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

【２】　$\alpha$を$0$ではない複素数とする．$z={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}i$とおき，$\beta =z\alpha \text{，}$$\gamma =z^2\alpha$とおく．$0\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$はそれぞれ複素数平面上の点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を表すとする．ただし，$i$は虚数単位である．以下の問いに答えよ．

(問１)　$\mathrm{\angle BOC}$を求めよ．

(問２)　複素数$\delta$に対し，$\delta$が表す複素数平面上の点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{BD}$の垂直二等分線は$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}$を通るとする．このような$\delta$を$\alpha$を用いて表せ．

(問３)　$0<\theta <\pi$とする．点$\mathrm{D}$を，点$\mathrm{C}$を中心に$\theta$だけ回転した点が$\mathrm{B}$であるとする．このとき$\sin \theta$を求めよ．

【３】　$xyz$空間において，$5$点$\mathrm{A}(3,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,3,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,-3,0)\text{，}$$\mathrm{D}(3,0,3)\text{，}$$\mathrm{P}(0,0,1)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$l$とする．四面体$\mathrm{ABCD}$を$l$の周りに$1$回転させるとき，この四面体が通過する部分の体積$V$を求めよ．ただし，四面体は内部も含むものとする．

【４】　実数$p>1$と正の整数$n$に対して

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^p$

とおく．以下の問いに答えよ．

(問１)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n^{p+1}}}$を求めよ．

(問２)　$0\leqq \alpha <\beta$とする．点$(\alpha ,{\alpha }^p)$における$y=x^p$の接線の方程式を求めよ．また，不等式

${\displaystyle \frac{1}{2}}(\beta -\alpha )\{2{\alpha }^p+p(\beta -\alpha ){\alpha }^{p-1}\}$$\leqq {\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}{x}^p\mathit{dx}$$\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(\beta -\alpha )({\beta }^p+{\alpha }^p)$

を証明せよ．

(問３)　(問１)で求めた値を$c$とおく．$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n-c{n}^{p+1}}{n^p}}$を求めよ．