2025　長崎大学　前期MathJax

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(1)　$2$次関数$y=a{x}^2-2ax+b$$\text{（}-1\leqq x\leqq 2\text{）}$の最大値が$4$で，最小値が$-2$であるとき，定数$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(2)　数列$\{a_n\}$が，$a_1=1\text{，}$$a_2=4\text{，}$$a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=0$$\text{（}n\geqq 1\text{）}$で定義されている．$b_n=a_{n+1}-2a_n\text{，}$$c_n={\displaystyle \frac{a_n}{2^n}}$とおくとき，$b_n\text{，}$$c_n$をそれぞれ$n$の式で表し，一般項$a_n$を求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=6\text{，}$$\mathrm{CA}=5$である．$\mathrm{\angle A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$が交わる点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．また，内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$および$\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right|$をそれぞれ求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(4)(A)　円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$がある．この円$C$を，$y$軸をもとにして$x$軸方向に$3$倍，$x$軸をもとにして$y$軸方向に$2$倍した，だ円$D$の方程式を求めよ．また，だ円$D$と$y$軸との$2$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．ただし，$\mathrm{A}$の$y$座標は正である．点$\mathrm{P}(x,y)$が，だ円$D$上を動くとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{P}$との距離$\mathrm{AP}$の最大値と，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(4)(B)　$0\leqq x\leqq 1$に値をとる確率変数$X$の確率密度関数が$f(x)=kx(x-1)$であるとき，定数$k$の値を求めよ．また，$X$が$\alpha \leqq X\leqq \beta$の範囲の値をとる確率を$P(\alpha \leqq X\leqq \beta )$とするとき，$P(0\leqq X\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}})$および$P({\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq X\leqq 1)$の値をそれぞれ求めよ．

【２】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式$x^2-2ax+a=0$が$0<x<3$の範囲において異なる$2$つの実数解をもつように定数$a$の値の範囲を定めよ．

【２】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(2)　$0<y<x<\pi$のとき，以下の連立方程式の解$(x,y)$を求めよ．

$\{\begin{array}{l}\sin x+\cos y=1\\ 4{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}y={\displaystyle \frac{9}{4}}\end{array}$

【２】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)　関数$f(x)={\log }_{2}x+2{\log }_2(3-x)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．

【３】　右図のように，原点を$\mathrm{O}$とする$xy$座標平面上における曲線$C\text{：}y=|x^2-x|$と直線$l\text{：}y=ax$$\text{（}a>0\text{）}$は，異なる$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を共有している．ただし，$\mathrm{A}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より小さいものとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$x$座標を，$a$を用いてそれぞれ表せ．また，$a$の取り得る値の範囲を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{OA}$と曲線$C$とで囲まれる図形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{AB}$と曲線$C$とで囲まれる図形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．

(4)　(2)と(3)の$S_1$と$S_2$の和$(S_1+S_2)$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

【４】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)(B)　$0\leqq x\leqq 1$に値をとる確率変数$X$の確率密度関数が$f(x)=kx(x-1)$であるとき，定数$k$の値を求めよ．また，$X$が$\alpha \leqq X\leqq \beta$の範囲の値をとる確率を$P(\alpha \leqq X\leqq \beta )$とするとき，$0\leqq a\leqq 1$における$P(0\leqq X\leqq a)$を$a$を用いて表し，$P(0\leqq X\leqq a)$$={\displaystyle \frac{7}{20}}P(a\leqq X\leqq 1)$を満たす定数$a$の値をそれぞれ求めよ．

【５】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(1)　原点を$\mathrm{O}$とする複素数平面上に，原点$\mathrm{O}$と異なる$2$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$があり，$4{\alpha }^2-6\alpha \beta +3{\beta }^2=0$が成り立つ．このとき，${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の値を求めよ．また，${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$を極形式で表せ．ただし，$0<\arg {\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}<\pi$とする．

【５】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)　部分積分法を用いて定積分${\displaystyle {\int }_0^1}\log (x^2+1)\mathit{dx}$を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

【６】　図１のように，原点を$\mathrm{O}$とする$xy$座標平面上に，曲線$C\text{：}y=x^2$がある．曲線$C$上の点$\mathrm{A}(-1,1)$と曲線$C$上を動く点$\mathrm{P}(t,t^2)$がある．ただし，$-1<t<0$とする．$C$上の$\mathrm{A}$における接線を$l$とし，$\mathrm{A}$を通り$l$に垂直な直線を法線$l^{\prime }$とする．同様に$C$上の$\mathrm{P}$における接線を$m$とし，$\mathrm{P}$を通り$m$に垂直な直線を法線$m^{\prime }$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　接線$l$および法線$l^{\prime }$の方程式をそれぞれ求めよ．

(2)　接線$m$および法線$m^{\prime }$の方程式をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(3)　$l^{\prime }$と$m^{\prime }$の交点を$\mathrm{R}$とする．曲線$C$上を$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$\mathrm{R}$が限りなく近づく点を${\mathrm{R}}_0$とする．${\mathrm{R}}_0$の座標を求めよ．

(4)　(3)の${\mathrm{R}}_0$を中心とし，$\mathrm{A}$を通る円$D$の方程式を求めよ．また，円$D$と曲線$C$が共有する点のうち，$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(5)　(4)において，円$D$と法線$l^{\prime }$が共有する点のうち，$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{E}$とするとき，線分$\mathrm{BE}\text{，}$円$D\text{，}$曲線$C$とで囲まれる図形（図２の斜線部，境界を含む）の面積を求めよ．

【７】　右図のように，$xy$座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円$C$がある．点$\mathrm{A}(2,0)\text{，}$点$\mathrm{B}(0,2)$とするとき，点$\mathrm{P}$は円$C$の周上を$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで反時計まわりに動くものとする．また，$\mathrm{\angle AOP}=\theta$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とし，点$\mathrm{Q}(x,y)$は，$\mathrm{\angle OPQ}$の大きさが常に${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で，線分$\mathrm{PQ}$の長さが弧$\mathrm{AP}$の長さに等しくなるように動く．ただし，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は常に$2$以上とし，$\theta =0$のときの$\mathrm{Q}$の位置を$\mathrm{A}\text{，}$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のときの$\mathrm{Q}$の位置を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　弧$\mathrm{AP}$の長さ$l$を$\theta$を用いて表せ．また，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．ただし，答えのみでよい．

(2)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$から$x$軸に下した垂線と$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とするとき，$4$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いてそれぞれ表せ．ただし，答えのみでよい．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\theta \sin 2\theta \mathit{d\theta }$および${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\theta }^2\cos 2\theta \mathit{d\theta }$を，それぞれ求めよ．

(4)　$\mathrm{Q}(x,y)$がえがく曲線と円$C$および直線$\mathrm{BD}$とで囲まれる図形の面積$S$を求めよ．ただし，この円$C$については$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$の円弧で考える．

(5)　$\mathrm{Q}(x,y)$がえがく曲線の長さ$L$を求めよ．

【８】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)(A)　原点を$\mathrm{O}$とする複素数平面上に，原点$\mathrm{O}$と異なる$2$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$があり，$4{\alpha }^2-6\alpha \beta +3{\beta }^2=0$が成り立つ．このとき，${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の値を求めよ．また，${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$を極形式で表し，$\mathrm{▵OAB}$はどのような三角形か答えよ．ただし，$0<\arg {\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}<\pi$とする．

【９】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(0,2)\text{，}$$\mathrm{B}(1,0)$を通る直線を$l_1$とし，$x$座標が$t$$\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$である線分$\mathrm{AB}$上の点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$から$x$軸，$y$軸に下ろした垂線と，$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ点$\mathrm{Q}\text{，}$点$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る直線を$l_2$とする．$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上を$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで働くとき，線分$\mathrm{QR}$が通過してできる図形の周および内部からなる領域を$F$とする．ただし，

$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$と一致するときは，$\mathrm{Q}$は$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{R}$は$\mathrm{A}$とする．

$\mathrm{P}$が$\mathrm{B}$と一致するときは，$\mathrm{Q}$は$\mathrm{B}$とし，$\mathrm{R}$は$\mathrm{O}$とする．

以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵AOB}$の周および内部からなる領域を不等式で表せ．ただし，答えのみでよい．

(2)　直線$l_2$の方程式を$t$の$2$次方程式$2t^2+at+b=0$の形で表すとする．$a\text{，}$$b$をそれぞれ$x$と$y$の式で表せ．

(3)　点$({\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$は領域$F$に含まれるかどうかを調べよ．

(4)　領域$F$を$x$と$y$の不等式で表せ．

(5)　解答用紙の$xy$座標平面上に領域$F$を図示せよ．また，領域$F$が表す図形の面積$S$を求めよ．

【10】　$xyz$座標空間の$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$があり，円$C$の周上を動く点を$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta ,0)$とする．また，$z=1$で表される平面$T$上に，点$\mathrm{A}(0,0,1)$を中心とする半径$1$の円$D$があり，円$D$の周上を動く点を$\mathrm{Q}(\cos (\theta +\alpha ),\sin (\theta +\alpha ),1)$とする．ただし，$\theta$は$0\leqq \theta \leqq 2\pi$の変数とし，$\alpha$は$0\leqq \alpha \leqq \pi$の定数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=t\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$$\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$とする．このとき，点$\mathrm{R}(x,y,z)$の$x\text{，}$$y\text{，}$$z$をそれぞれ$t\text{，}$$\theta \text{，}$$\alpha$を用いて表せ．

(2)　(1)の$\mathrm{R}$から$z$軸に垂線$\mathrm{RH}$を下ろし，$2$点$\mathrm{R}$と$\mathrm{H}$の距離を$d$とする．$d^2$を$\alpha$と$t$の式で表せ．また，$t$が$t=0$から$t=1$まで変化するとき，$d$の最小値を$\alpha$を用いて表し，そのときの$t$の値を求めよ．ただし，$0<\alpha \leqq \pi$とする．

(3)　$\theta$が$\theta =0$から$\theta =2\pi$まで変化するとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる曲面と，$xy$平面と平面$T$の$2$平面とで囲まれる立体$F$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ．

(4)　(3)の立体$F$は，定数$\alpha$の値によって様々な形状になる．立体$F$の体積$V$が最大，最小になるときの$\alpha$の値と体積をそれぞれ求め，そのときの形状をそれぞれ答えよ．

【11】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$座標平面上において$y=\sqrt{1-x^2}$$\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$で表される半円を$C$とし，$C$上の$2$点を${\mathrm{Q}}_0(-1,0)\text{，}$$\mathrm{A}(1,0)$とする．右図のように，小球$\mathrm{P}$（以下$\mathrm{P}$と呼ぶ）は${\mathrm{Q}}_0$より，$x$軸の正の向きとなす角が$\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$となるように発射され，$\mathrm{P}$が$C$上の点${\mathrm{Q}}_1$に達すると，$\mathrm{\angle }{\mathrm{Q}}_0{\mathrm{Q}}_1\mathrm{O}=\mathrm{\angle }\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$となるように反射される．さらに，$\mathrm{P}$は$C$上の点${\mathrm{Q}}_2$に達すると，同様に$\mathrm{\angle }{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2\mathrm{O}=\mathrm{\angle }\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_3$となるように反射される．$\mathrm{P}$は，このような反射を繰り返し，はじめて$x$軸に達したとき，静止するものとする．このときの反射の回数を$n$回（最後の反射する点は${\mathrm{Q}}_n\text{）}$とし，静止する点を${\mathrm{R}}_n(x_n,0)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$が，$1$回の反射で$\mathrm{A}$に達するときの$\mathrm{P}$の軌跡を解答用紙の図１に示し，そのときの$\theta$の値を求めよ．また，$\mathrm{P}$が$2$回の反射で$\mathrm{A}$に達するときの$\mathrm{P}$の軌跡を解答用紙の図２に示し，そのときの$\theta$の値を求めよ．ただし，$\theta$の値は答えのみでよい．

(2)　$\mathrm{P}$が$1$回の反射で$x$軸に達するとき，$\theta$の値の範囲を求めよ．このとき，$x_1$を$\sin \theta$の式で表し，$x_1$の取り得る値の範囲を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}$が$n$回の反射で$x$軸に達するとき，$\theta$の値の範囲を求めよ．また，$x_n$を$n\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(4)　(3)のとき，$\mathrm{▵}\mathrm{O}{\mathrm{R}}_n{\mathrm{Q}}_n$の面積$S_n$は，$S_n={\displaystyle \frac{\tan 2n\theta \tan \theta }{2(\tan 2n\theta +\tan \theta )}}$と表されることを示し，反射の回数$n$が限りなく大きくなる場合は，$S_n$は限りなく$0$に近づくことを証明せよ．

教育(A),経済,環境科学部　【１】,【３】

水産,情報データ科(A)学部　【１】,【２】,【３】

教育(B)薬,歯,工,情報データ科(B)学部　【４】,【５】,【６】,【７】

医学部　【８】,【９】,【10】,【11】