2025　佐賀大学　後期MathJax

【１】　4 人でじゃんけんを1 回行い，その結果により，次の$\text{①，}$$\text{②，}$$\text{③}$のいずれかを行う．

$\text{①}$　$1$回目のじゃんけんで$1$人だけが勝ったとき，$2$回目のじゃんけんは行わない

$\text{②}$　$1$回目のじゃんけんで勝った人が$2$人以上のとき，勝った人たちだけで$2$回目のじゃんけんを行う

$\text{③}$　$1$回目のじゃんけんで誰も勝たなかったとき，$4$人全員で$2$回目のじゃんけんを行う

このとき，次の問に答えよ．

(1)　$1$回目のじゃんけんで$1$人だけが勝つ確率を求めよ．

(2)　$4$人全員で$2$回目のじゃんけんを行う確率を求めよ．

(3)　$2$回目のじゃんけんで$1$人だけが勝ったとき，$1$回目のじゃんけんで$2$人だけが勝っている条件付き確率を求めよ．

【２】　白玉と赤玉が入っている袋について，次の操作を行う．

　白玉と赤玉の個数の和と同じ個数の赤玉を加え，続いて白玉の個数を$2$倍にし，さらに白玉を$3$個加える

はじめに袋の中に白玉が$a_1$個，赤玉が$b_1$個入っているとし，$n-1$回の操作を行ったあとの，袋の中の白玉の個数を$a_n\text{，}$赤玉の個数を$b_n$とする．$b_1=3\text{，}$$b_2=7$であるとき，次の問に答えよ．

(1)　$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n$を用いて表し，$a_1$の値を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数学的帰納法を用いて

$b_n=(n-1)\cdot 2^n+3$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを証明せよ．

【３】　曲線$y=\tan {\displaystyle \frac{x}{4}}$$\text{（}0\leqq x<2\pi \text{）}$を$C$とし，曲線$C$上の点$(\pi ,1)$における接線を$l$とする．次の問に答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C$と直線$l$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　(2)の図形を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【４】

$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}(1+i)\text{，}$$\beta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}(1-\sqrt{3}i)$

とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$\alpha \text{，}$$\beta$および${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の極形式を求めよ．

(2)　${\alpha }^n={\beta }^n$を満たす自然数$n$のうち，最小のものを$N$とする．$N$の値を求めよ．

(3)　(2)の$N$について，$n$が$N$未満の自然数を動くとき，${|{\alpha }^n-{\beta }^n|}^2$の最小値を求めよ．また，最小値をとるときの$n$の値をすべて求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^3-6x^2$と，$y=f(x)$で表される曲線$C$について，次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べ，その極値を求めよ．また，曲線$C$の概形をかけ．

(2)　曲線$C$上の点$(1,-5)$における接線の方程式を求めよ．また，その接線と曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　曲線$C$上の点$(t,f(t))$における接線が$(0,a)$を通るとき，$a$を$t$を用いて表せ．また，曲線$C$に点$(0,a)$から$3$本の接線を引くことができるための，$a$についての条件を求めよ．

【４】　細胞$\mathrm{A}$は$1$分ごとに$4$倍に増殖し，細胞$\mathrm{B}$は$1$分ごとに$5$倍に増殖する．次の問に答えよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

(1)　${\log }_{10}4\text{，}$${\log }_{10}5\text{，}$${\log }_{10}6$の値を求めよ．

(2)　$1$個の細胞$\mathrm{A}$を培養するとき，$m$分後に$\mathrm{A}$の個数が初めて${10}^{10}$個以上になったとする．このとき，自然数$m$の値を求めよ．

(3)　$16$個の細胞$\mathrm{A}$と$1$個の細胞$\mathrm{B}$を培養するとき，$n$分後に$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の個数の和が初めて${10}^{10}$個以上になったとする．このとき，自然数$n$の値を求めよ．