2025　佐賀大学　前期MathJax

【１】　$1$から$6$の目が$1$つずつ書いてあるが，$k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$について，$k$の目が出る確率が，$1$の目が出る確率の$k$倍であるさいころを考える．次の問に答えよ．

(1)　このさいころを$1$回投げたとき，$3$の目が出る確率を求めよ．

(2)　$n$を$2$以上の自然数とする．このさいころを$n$回投げたとき，$3$の目が$2$回以上出る確率を$n$を用いて表せ．

(3)　このさいころを$2$回投げて出る目の和が偶数になるとき，$3$の目が$1$回以上出る条件付き確率を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間上に$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,1)$をとり，点$\mathrm{C}$を中心とする半径$1$の球面を$S$とする．点$\mathrm{P}$が$S$上を動くとき，次の問に答えよ．

(1)　球面$S$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}(a,b,c)$は，点$\mathrm{P}$のとり方によらず，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CP}}=2$を満たすとする．定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$S$上を動くときの，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}$と${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2$の最大値をそれぞれ求めよ．

【３】　$n$を$0$以上の整数とする．次の問に答えよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{{(\log x)}^{n+1}}{x}}$$\text{（}x>1\text{）}$の極値を$n$を用いて表せ．

(2)　(1)の結果を用いて，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{(\log x)}^n}{x}}=0$を示せ．

(3)　極限値

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_1^x}{\displaystyle \frac{1}{t^2}}\mathit{dt}$

を求めよ．また，極限

$I_n=\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_1^x}{\displaystyle \frac{{(\log t)}^n}{t^2}}\mathit{dt}$

について，$I_n$の漸化式を求め，$I_n$を$n$を用いて表せ．

【４】　$\alpha =3+4i$とし，複素数平面上で

$z\bar{z}-\bar{\alpha }z-\alpha \bar{z}=0$

を満たす点$z$全体が表す図形を$C$とする．次の問に答えよ．

(1)　$C$はどのような図形になるか．

(2)　原点と$C$上の$3$点が正方形の$4$つの頂点をなすとき，この$3$点を表す複素数をそれぞれ求めよ．

(3)　$C$上の点$z$について，複素数平面上の$3$点$0\text{，}$$\alpha \text{，}$$z$が鈍角三角形の$3$つの頂点をなすとき，複素数$z=a+bi$の実部$a$がとる値の範囲を求めよ．

【３】　$0\leqq \theta \leqq \pi$とし，$y=\sqrt{3}\sin 2\theta +\cos 2\theta$$+6\sin \theta$$-2\sqrt{3}\cos \theta -2$とする．$t=\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$t^2$を$\sin 2\theta \text{，}$$\cos 2\theta$を用いて表せ．また，$y$を$t$を用いて表せ．

(2)　$t$のとる値の範囲を求めよ．

(3)　$y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値をすべて求めよ．

【４】　$k$を定数とし，$f(x)=4x^3-3x^2+k$とする．また，正の実数$\alpha$は$f(\alpha )=0$および$f^{\prime }(\alpha )=0$を満たすとする．次の問に答えよ．

(1)　$\alpha$および$k$の値を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$を解け．

(3)　関数$y=f(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．

(4)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を，積分を計算することにより求めよ．

【３】　$n$を$0$以上の整数とする．次の問に答えよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{{(\log x)}^{n+1}}{x}}$$\text{（}x>1\text{）}$の極値を$n$を用いて表せ．

(2)　(1)の結果を用いて，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{(\log x)}^n}{x}}=0$を示せ．

(3)　極限

$I_n=\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_1^x}{\displaystyle \frac{{(\log t)}^n}{t^2}}\mathit{dt}$

について，$I_n$の漸化式を求め，$I_n$を$n$を用いて表せ．