2025　九州工業大学　後期MathJax

$\{\begin{array}{l}x=2\sin t+\sin 2t\\ y=2\cos t-\cos 2t\end{array}$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

で表される曲線を$C$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}}$および${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を$t$の式で表せ．

(ⅱ)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}<t<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{\mathit{dx}}^2}}>0$を示せ．

(ⅲ)　曲線$C$の長さ$L$を求めよ．

(ⅳ)　曲線$C$と$x$軸および$2$直線$x={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\text{，}$$x=-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【２】　座標平面上に曲線

$C\text{：}y=\sqrt{2x^2+4x}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$

がある．曲線$C$上の点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$$\cdots$および$x$軸上の点${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2\text{，}$${\mathrm{Q}}_3\text{，}$$\cdots$を以下のように定める．

・点${\mathrm{P}}_1$の座標を$(1,\sqrt{6})$とする．

・$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，曲線$C$の点${\mathrm{P}}_n$における法線と$x$軸の交点を${\mathrm{Q}}_n$とし，点${\mathrm{Q}}_n$を通り$y$軸に平行な直線と曲線$C$の交点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．

次の問いに答えよ．

(ⅰ)　曲線$C$の点${\mathrm{P}}_1$における法線の方程式を求めよ．また，点${\mathrm{Q}}_1$の$x$座標を求めよ．

(ⅱ)　自然数$n$に対して，点${\mathrm{P}}_n$の$x$座標を$x_n$とする．$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表せ．

(ⅲ)　(ⅱ)で定めた数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅳ)　自然数$n$に対して，$\mathrm{▵}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{Q}}_{n+1}$の面積を$S_n$とし，$\mathrm{▵}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}{\mathrm{Q}}_{n+1}$の面積を$T_n$とする．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T_n}{S_n}}$を求めよ．

(ⅰ)　$b$を$a$を用いて表せ．

(ⅱ)　$X$と$Y$を$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$a$を用いて表せ．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}$と一致し，$\mathrm{▵APQ}$の面積が${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}}$となるとき，$a$の値を求めよ．

(ⅳ)　$a$を(ⅲ)で求めた値とする．点$\mathrm{B}$を通り，$yz$平面に平行な平面を$\alpha$とし，$S$と$\alpha$が交わってできる図形を$C$とする．点$\mathrm{P}$が図形$C$上を動くとき，$xy$平面における点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

$312=6\cdot 7^2+2\cdot 7^1+4$

が成り立つので，$7$進法で表すと$312={624}_{(7)}$である．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$2025$を$7$進法で表せ．

(ⅱ)　自然数$k$に対して，$2025$以下の自然数のうち$7^k$の倍数の個数を$N_k$とする．$N_1\text{，}$$N_2\text{，}$$N_3\text{，}$$N_4$を求め，これらを$7$進法で表せ．

(ⅲ)　$2025!$の素因数分解を$2025!=2^a\cdot 3^b\cdot 5^c\cdot 7^d\cdot \cdots$と表したとき，整数$d$を求めよ．

(ⅳ)　${}_{2025}C_{312}$の素因数分解を${}_{2025}C_{312}=2^x\cdot 3^y\cdot 5^z\cdot 7^w\cdot \cdots$と表したとき，整数$w$を求めよ．

(ⅴ)　$2025!$を$2310$進法で表したとき，末尾に連続して並ぶ$0$の個数$Z$を求めよ．