2025　九州工業大学　前期MathJax

(ⅰ)　$5$回の試行のあとの合計得点の最小値と最大値を求めよ．

(ⅱ)　$5$回の試行のあとの合計得点が$8$である確率を求めよ．

　さらに，最初の試行から数えて$n$回の試行のあとの合計得点が奇数である確率を$a_n$とする$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）．}$

(ⅲ)　$a_1\text{，}$$a_2$をそれぞれ求めよ．

(ⅳ)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(ⅴ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅵ)　$5$回の試行のあとの合計得点が奇数であった．このとき，$4$回の試行のあとの合計得点が奇数である条件付き確率を求めよ．

(ⅰ)　放物線$C$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　直線$m$の傾きを$t$を用いて表せ．

(ⅲ)　直線$m$は$t$の値によらず，定点$\mathrm{E}$を通る．この$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

(ⅳ)　点$\mathrm{Q}$から$y$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QR}$とし，直線$m$と$y$軸の交点を$\mathrm{S}$とする．$t$の値が変化するとき，$\mathrm{▵QRS}$の面積$T$の最小値を求めよ．

(ⅰ)　$n=1$の場合の関数$y=x{e}^{-x}$の最大値を求めよ．

(ⅱ)　$n=2$の場合の関数$y=x^2{e}^{-x}$の極値を求めよ．

(ⅲ)　$n\geqq 3$の場合の関数$y=x^n{e}^{-x}$のグラフの変曲点を求めよ．

(ⅳ)　(ⅲ)で求めた変曲点のうち，$y$座標の値が最大のものはどれか．理由とともに答えよ．ただし，任意の実数$t>1$の対して，${\left({\displaystyle \frac{t+1}{t-1}}\right)}^t>e^2$が成り立つことを用いてよい．

(ⅴ)　$I_n={\displaystyle {\int }_0^2}{x}^n{e}^{-x}\mathit{dx}$とおくとき，$I_{n+1}$を$I_n$の式で表せ．

(ⅰ)　点$\mathrm{G}$は$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る直線上にあるものとする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$が垂直であるとき，点$\mathrm{G}$の座標を，$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(ⅱ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$のなす角が$90\mathrm{°}$以上となるための条件を，$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(ⅲ)　$\mathrm{▵PQR}$の面積を，$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(ⅳ)　次の条件を満たす$a$の最大値を求めよ．ただし，$1.7<\sqrt{3}<1.8$を用いてよい．

条件：$a\text{，}$$b$は自然数であり，$a>b$を満たすすべての$b$に対して$\mathrm{▵PQR}$の面積が$10$未満である．